Bugün, zincir kuralını kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $y = \cos(x^3 - 3x^2 + 1)$.
Bu tür fonksiyonların türevini alırken zincir kuralını uygulamamız gerekir. Zincir kuralı, bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içinde olduğu durumlarda kullanılır. Yani, $f(g(x))$ şeklindeki fonksiyonların türevi $f'(g(x)) \cdot g'(x)$ olarak bulunur.
Fonksiyonumuz $y = \cos(x^3 - 3x^2 + 1)$ ifadesinde, iki ana kısım olduğunu görebiliriz:
Dış fonksiyon: $\cos(u)$ (burada $u$ bir değişkendir)
İç fonksiyon: $u = x^3 - 3x^2 + 1$
Şimdi bu iki fonksiyonun ayrı ayrı türevlerini alacağız.
Dış fonksiyonumuz $\cos(u)$ idi. $\cos(u)$'nun $u$'ya göre türevi $-\sin(u)$'dur.
Yani, $\frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$.
İç fonksiyonumuz $u = x^3 - 3x^2 + 1$ idi. Bu fonksiyonun $x$'e göre türevini alalım:
$x^3$'ün türevi $3x^2$'dir.
$-3x^2$'nin türevi $-3 \cdot 2x = -6x$'tir.
Sabit sayı olan $1$'in türevi $0$'dır.
Bu durumda, $\frac{du}{dx} = 3x^2 - 6x + 0 = 3x^2 - 6x$ olur.
Zincir kuralına göre, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ formülünü kullanacağız.
Bulduğumuz türevleri yerine yazalım:
$\frac{dy}{du} = -\sin(u)$
$\frac{du}{dx} = 3x^2 - 6x$
Öyleyse, $\frac{dy}{dx} = -\sin(u) \cdot (3x^2 - 6x)$.
Son olarak, $u$ yerine başlangıçtaki ifadesi olan $x^3 - 3x^2 + 1$ değerini yazalım.
$\frac{dy}{dx} = -\sin(x^3 - 3x^2 + 1) \cdot (3x^2 - 6x)$.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
