Bir $f$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki bilgiler verilmiştir:
- $f'(x) > 0$ olduğu aralık $(-\infty, 1)$ ve $(3, \infty)$dir.
- $f'(x) < 0$ olduğu aralık $(1, 3)$tür.
- $f(1) = 5$ ve $f(3) = 2$dir.
Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun grafiği için aşağıdakilerden hangisi
kesinlikle doğrudur?
A) $x=1$ noktasında yerel minimuma sahiptir.
B) $x=3$ noktasında yerel maksimuma sahiptir.
C) $(-\infty, 1)$ aralığında azalandır.
D) $x=1$ noktasında yerel maksimum değeri $5$tir.
E) $x=3$ noktasında mutlak minimum değeri $2$dir.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin işaretini ve bazı fonksiyon değerlerini kullanarak fonksiyonun grafiği hakkında yorum yapmamız isteniyor. Bu tür sorular, türevin fonksiyonun artanlık/azalanlık durumu ve yerel ekstremum noktaları ile ilişkisini anlamak için harika bir fırsattır. Adım adım inceleyelim:
- Verilen Bilgileri Anlayalım:
- $f'(x) > 0$ olduğu aralıklar $(-\infty, 1)$ ve $(3, \infty)$'dur. Bu ne anlama gelir? Bir fonksiyonun türevi pozitif olduğunda, o aralıkta fonksiyon artan demektir. Yani, $f(x)$ fonksiyonu $(-\infty, 1)$ aralığında artıyor ve $(3, \infty)$ aralığında artıyor.
- $f'(x) < 0$ olduğu aralık $(1, 3)$'tür. Türev negatif olduğunda, fonksiyon azalan demektir. Yani, $f(x)$ fonksiyonu $(1, 3)$ aralığında azalan bir fonksiyondur.
- $f(1) = 5$ ve $f(3) = 2$dir. Bunlar, fonksiyonun belirli noktalardaki değerleridir.
- Türevin İşaret Değişimlerini İnceleyelim (Birinci Türev Testi):
- $x=1$ noktasında: $f'(x)$'in işareti $(-\infty, 1)$ aralığında pozitifken, $(1, 3)$ aralığında negatife dönüyor. Yani, fonksiyon $x=1$'e kadar artmış, $x=1$'den sonra azalmaya başlamış. Bir fonksiyonun artmaktan azalmaya geçtiği nokta, o fonksiyonun yerel maksimum noktasıdır.
- $x=3$ noktasında: $f'(x)$'in işareti $(1, 3)$ aralığında negatifken, $(3, \infty)$ aralığında pozitife dönüyor. Yani, fonksiyon $x=3$'e kadar azalmış, $x=3$'ten sonra artmaya başlamış. Bir fonksiyonun azalmaktan artmaya geçtiği nokta, o fonksiyonun yerel minimum noktasıdır.
- Seçenekleri Değerlendirelim:
- A) $x=1$ noktasında yerel minimuma sahiptir.
Yukarıdaki analizimize göre, $x=1$ noktasında fonksiyon artmaktan azalmaya geçtiği için yerel maksimuma sahiptir. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- B) $x=3$ noktasında yerel maksimuma sahiptir.
Yukarıdaki analizimize göre, $x=3$ noktasında fonksiyon azalmaktan artmaya geçtiği için yerel minimuma sahiptir. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- C) $(-\infty, 1)$ aralığında azalandır.
Soruda $f'(x) > 0$ olduğu aralığın $(-\infty, 1)$ olduğu belirtilmiştir. Türev pozitifse fonksiyon artandır. Dolayısıyla bu ifade yanlıştır.
- D) $x=1$ noktasında yerel maksimum değeri $5$tir.
Analizimize göre $x=1$ noktasında yerel maksimum vardır. Ayrıca soruda $f(1) = 5$ olarak verilmiştir. Bu durumda, $x=1$ noktasındaki yerel maksimum değeri $5$'tir. Bu ifade doğrudur.
- E) $x=3$ noktasında mutlak minimum değeri $2$dir.
Analizimize göre $x=3$ noktasında yerel minimum vardır ve $f(3) = 2$dir. Ancak bu, fonksiyonun tüm tanım kümesindeki en küçük değer (mutlak minimum) olduğu anlamına gelmez. Örneğin, $x \to -\infty$ giderken fonksiyonun değeri $2$'den daha küçük değerlere inebilir. Sadece yerel minimum olduğunu kesin olarak söyleyebiliriz. Dolayısıyla bu ifade kesinlikle doğru değildir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $x=1$ noktasında bir yerel maksimum olduğunu ve bu noktanın değerinin $f(1)=5$ olduğunu kesin olarak belirleyebiliriz.
Cevap D seçeneğidir.
