Gerçel sayılar kümesinde tanımlı bir $f$ fonksiyonu,
$f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 4}{x - 2} & , x < 2 \\ 3x - k & , x \ge 2 \end{cases}$
biçiminde tanımlanmıştır.
Bu $f$ fonksiyonu her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olduğuna göre, $k$ değeri kaçtır?
A) $1$
B) $2$
C) $3$
D) $4$
E) $5$
Bir fonksiyonun her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olması demek, tanım kümesindeki her noktada sürekli olması demektir. Parçalı fonksiyonlarda süreklilik incelenirken, her bir parçanın kendi tanım aralığında sürekli olup olmadığına ve parçaların birleştiği (kritik) noktalarda sürekli olup olmadığına bakılır.
- Verilen $f(x)$ fonksiyonunu inceleyelim:
- $x < 2$ için $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ şeklindedir. Bu ifade, $x \ne 2$ olmak üzere bir rasyonel fonksiyondur. Paydayı sıfır yapan tek değer $x=2$'dir. Ancak biz $x < 2$ aralığını incelediğimiz için, bu aralıkta payda asla sıfır olmaz. Dolayısıyla, $x < 2$ aralığında fonksiyon süreklidir.
- $x \ge 2$ için $f(x) = 3x - k$ şeklindedir. Bu ifade bir doğrusal fonksiyondur ve doğrusal fonksiyonlar her yerde süreklidir. Dolayısıyla, $x \ge 2$ aralığında fonksiyon süreklidir.
- Fonksiyonun sürekliliğini bozan tek potansiyel nokta, parçaların birleştiği kritik nokta olan $x=2$ noktasıdır. Fonksiyonun her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olduğu belirtildiğine göre, $x=2$ noktasında da sürekli olmak zorundadır.
- Bir fonksiyonun $x=c$ noktasında sürekli olması için üç şartın sağlanması gerekir:
- $f(c)$ tanımlı olmalı.
- $\lim_{x \to c^-} f(x)$ (sol limit) ve $\lim_{x \to c^+} f(x)$ (sağ limit) var olmalı ve birbirine eşit olmalı. Yani $\lim_{x \to c} f(x)$ limiti var olmalı.
- $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ olmalı.
- Şimdi bu şartları $x=2$ noktası için uygulayalım:
- 1. $f(2)$ değerini bulalım:
- $x \ge 2$ durumu için $f(x) = 3x - k$ tanımı geçerlidir.
- $f(2) = 3(2) - k = 6 - k$.
- 2. $x=2$ noktasındaki sol limiti bulalım:
- $x < 2$ durumu için $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ tanımı geçerlidir.
- $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$
- Pay kısmını çarpanlarına ayırırsak: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
- $\lim_{x \to 2^-} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
- $x \to 2^-$ demek $x$ değeri $2$'ye çok yakın ama $2$'den küçük demektir, yani $x \ne 2$. Bu durumda $(x-2)$ terimleri sadeleştirilebilir.
- $\lim_{x \to 2^-} (x + 2) = 2 + 2 = 4$.
- 3. $x=2$ noktasındaki sağ limiti bulalım:
- $x \ge 2$ durumu için $f(x) = 3x - k$ tanımı geçerlidir.
- $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - k) = 3(2) - k = 6 - k$.
- 4. Süreklilik şartını uygulayalım:
- Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olması için sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır:
- $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
- $4 = 6 - k = 6 - k$
- Bu eşitlikten $k$ değerini bulalım:
- $4 = 6 - k$
- $k = 6 - 4$
- $k = 2$.
Buna göre, $k$ değeri $2$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
