12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 6. senaryo meb Test 1

Aşağıdaki grafiklerden hangisi $f(x) = x^4 - 4x^3$ fonksiyonunun grafiği olabilir?

A) (Bu kısma grafik çizilemez, şıkları metin olarak ifade edeceğim. Özellikleri ile eşleştireceğim.)
Grafik özellikleri için şıkları tanımlamak zordur. Bu tür bir soru için çizimler gereklidir. Ancak metin tabanlı bir format istendiği için grafiğin ana özelliklerini açıklayarak doğru cevabı belirleyeceğim.
A) $x=0$'da yerel minimum, $x=3$'te yerel maksimum olan bir grafik.
B) $x=0$'da büküm noktası, $x=3$'te yerel minimum olan bir grafik.
C) $x=0$'da yerel minimum, $x=3$'te büküm noktası olan bir grafik.
D) $x=0$'da bir büküm noktası, $x=3$'te yerel minimum olan ve $x=0$ noktasında $x$-eksenine teğet olan bir grafik.
E) $x=0$'da yerel maksimum, $x=3$'te yerel minimum olan bir grafik. [CORRECT] B [SOLUTION]

Fonksiyonun grafiğini çizmek için türevlerini inceleyelim.

Birinci türev:

$f'(x) = 4x^3 - 12x^2$.

Kritik noktaları bulmak için $f'(x) = 0$ eşitleyelim:

$4x^3 - 12x^2 = 0 \Rightarrow 4x^2(x - 3) = 0$.

Kritik noktalar $x = 0$ (katlı kök) ve $x = 3$'tür.

İşaret tablosu:

Aralık	$(-\infty, 0)$	$(0, 3)$	$(3, \infty)$
$f'(x)$ işareti	$-$	$-$	$+$
$f(x)$ durumu	Azalan	Azalan	Artan

$x = 0$ noktasında türev sıfırdır ancak işaret değiştirmez, bu yüzden bir yerel ekstremum değildir. Ancak bu bir büküm noktası olabilir. $x = 3$ noktasında $f'(x)$ işaret değiştirir (negatiften pozitife), bu yüzden $x = 3$ bir yerel minimum noktasıdır.

$f(3) = 3^4 - 4(3)^3 = 81 - 4(27) = 81 - 108 = -27$. Yerel minimum noktası $(3, -27)$'dir.

$f(0) = 0^4 - 4(0)^3 = 0$. Fonksiyon $x=0$ noktasında $x$-eksenini keser ve $f'(0)=0$ olduğu için $x$-eksenine teğettir.

İkinci türev:

$f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x$.

Dönüm noktalarını bulmak için $f''(x) = 0$ eşitleyelim:

$12x^2 - 24x = 0 \Rightarrow 12x(x - 2) = 0$.

Dönüm noktaları $x = 0$ ve $x = 2$'dir.

İşaret tablosu ($f''(x)$):

Aralık	$(-\infty, 0)$	$(0, 2)$	$(2, \infty)$
$f''(x)$ işareti	$+$ (Yukarı konkav)	$-$ (Aşağı konkav)	$+$ (Yukarı konkav)

Bu analizlere göre:

• $x=0$ bir dönüm noktasıdır ve $f(0)=0$ ile $x$-eksenine teğettir.
• $x=2$ bir dönüm noktasıdır.
• $x=3$ bir yerel minimum noktasıdır.

Açıklamalara göre B şıkkı, $x=0$'da büküm noktası, $x=3$'te yerel minimum olan bir grafik tanımına uymaktadır. Ayrıca $f(0)=0$ ve $f'(0)=0$ olduğu için $x=0$ noktasında $x$-eksenine teğettir.

Bu durumda, B şıkkının açıklaması $f(x) = x^4 - 4x^3$ fonksiyonunun grafiğine uygun özelliktedir.

[Q_END]