\( A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| < 3 \} \) kümesinin reel sayı aralığı gösterimi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \((-1, 5)\)Bu soruda, mutlak değer içeren bir eşitsizlik ile tanımlanmış bir kümeyi reel sayı aralığı olarak ifade etmemiz isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Verilen küme $ A = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| < 3 \} $ şeklindedir. Bu ifade, $ x $ reel sayılarından öylelerini içerir ki, $ x $ ile $ 2 $ arasındaki uzaklık $ 3 $'ten küçüktür.
Mutlak değer eşitsizliklerinin temel bir kuralını hatırlayalım: Eğer $ |u| < c $ ise (burada $ c > 0 $ olmak üzere), bu eşitsizlik $ -c < u < c $ şeklinde yazılabilir.
Bizim eşitsizliğimizde $ u = x-2 $ ve $ c = 3 $ olduğundan, $ |x-2| < 3 $ eşitsizliğini şu şekilde yeniden yazabiliriz:
$ -3 < x-2 < 3 $
Şimdi bu bileşik eşitsizliği $ x $ için çözmeliyiz. Eşitsizliğin her tarafına $ 2 $ ekleyerek $ x $'i yalnız bırakalım:
$ -3 + 2 < x-2 + 2 < 3 + 2 $
$ -1 < x < 5 $
Bu eşitsizlik, $ x $'in $ -1 $'den büyük ve $ 5 $'ten küçük olduğu tüm reel sayıları ifade eder. Yani $ x $ değerleri $ -1 $ ve $ 5 $ arasında yer alır, ancak $ -1 $ ve $ 5 $ değerleri bu aralığa dahil değildir (çünkü eşitsizlikler "küçüktür" ($ < $) şeklindedir, "küçük veya eşittir" ($ \le $) şeklinde değildir).
Reel sayılarda bu tür bir aralık, açık aralık olarak gösterilir. Açık aralık gösterimi parantez $ ( ) $ kullanılarak yapılır. Dolayısıyla, $ -1 < x < 5 $ eşitsizliğinin aralık gösterimi $ (-1, 5) $ şeklindedir.
Seçeneklere baktığımızda, $ (-1, 5) $ ifadesi A seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
