\( x \in [-3, 2] \) aralığında tanımlı \( f(x) = 2x - 1 \) fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \([-7, 3]\)Sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki görüntü kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim:
Bize verilen fonksiyon $f(x) = 2x - 1$. Bu fonksiyonun tanım aralığı ise $x \in [-3, 2]$. Bu, $x$ değerlerinin $-3$ ile $2$ arasında ($-3$ ve $2$ dahil) olabileceği anlamına gelir. Görüntü kümesi ise bu $x$ değerleri için $f(x)$'in alabileceği tüm değerlerin kümesidir.
Verilen $f(x) = 2x - 1$ fonksiyonu, bir doğrusal fonksiyondur. Doğrusal fonksiyonlarda $x$'in katsayısı (eğim) fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu gösterir. Burada $x$'in katsayısı $2$'dir ve pozitif bir sayıdır ($2 > 0$). Bu, fonksiyonun artan olduğu anlamına gelir. Artan bir fonksiyonda, $x$ değeri büyüdükçe $f(x)$ değeri de büyür.
Fonksiyonumuz artan olduğu için, tanım aralığının en küçük $x$ değeri, görüntü kümesinin en küçük $f(x)$ değerini; tanım aralığının en büyük $x$ değeri ise görüntü kümesinin en büyük $f(x)$ değerini verecektir.
Tanım aralığının alt sınırı $x = -3$'tür. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
$f(-3) = 2(-3) - 1$
$f(-3) = -6 - 1$
$f(-3) = -7$
Bu, görüntü kümesinin alt sınırıdır.
Tanım aralığının üst sınırı $x = 2$'dir. Bu değeri fonksiyonda yerine koyalım:
$f(2) = 2(2) - 1$
$f(2) = 4 - 1$
$f(2) = 3$
Bu, görüntü kümesinin üst sınırıdır.
Bulduğumuz alt ve üst sınırlar, fonksiyonun bu aralıktaki görüntü kümesini oluşturur. Yani, $f(x)$ değerleri $-7$ ile $3$ arasında ($-7$ ve $3$ dahil) olacaktır.
Bu durumda görüntü kümesi $[-7, 3]$'tür.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz görüntü kümesinin A seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
