Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, benzer üçgenlerin kenar uzunlukları oranı ile alanları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Bu tür soruları çözerken dikkat etmemiz gereken temel bir kural vardır. Şimdi adım adım bu kuralı hatırlayarak sorumuzu çözelim:
- Adım 1: Benzerlik Oranını Belirleyelim
- Soruda bize iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları oranının $3/4$ olduğu verilmiş. Bu oran, küçük üçgenin kenarının büyük üçgenin kenarına oranıdır. Matematikte bu orana "benzerlik oranı" denir ve genellikle $k$ ile gösterilir.
- Yani, benzerlik oranı $k = \frac{\text{Küçük Üçgenin Kenarı}}{\text{Büyük Üçgenin Kenarı}} = \frac{3}{4}$'tür.
- Adım 2: Alanlar Oranı ile Benzerlik Oranı Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım
- Geometride çok önemli bir kural vardır: Benzer iki üçgenin alanları oranı, benzerlik oranının karesine eşittir.
- Bu kuralı matematiksel olarak şöyle ifade edebiliriz: $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = (\text{Benzerlik Oranı})^2 = k^2$.
- Adım 3: Alanlar Oranını Hesaplayalım
- Benzerlik oranımız $k = \frac{3}{4}$ olduğuna göre, alanlar oranı $k^2$ olacaktır.
- $k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{3^2}{4^2} = \frac{9}{16}$.
- Yani, $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \frac{9}{16}$'dır.
- Adım 4: Büyük Üçgenin Alanını Bulalım
- Soruda küçük üçgenin alanının $36 \text{ cm}^2$ olduğu verilmiş. Bu bilgiyi ve bulduğumuz alanlar oranını kullanarak büyük üçgenin alanını hesaplayabiliriz.
- $\frac{36}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \frac{9}{16}$.
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak veya orantı kurarak büyük üçgenin alanını bulalım:
- $9 \times \text{Büyük Üçgenin Alanı} = 36 \times 16$.
- Her iki tarafı 9'a bölelim:
- $\text{Büyük Üçgenin Alanı} = \frac{36 \times 16}{9}$.
- $36$ ile $9$ sadeleşir ($36 \div 9 = 4$).
- $\text{Büyük Üçgenin Alanı} = 4 \times 16 = 64 \text{ cm}^2$.
Büyük üçgenin alanı $64 \text{ cm}^2$ olarak bulunmuştur.
Cevap C seçeneğidir.
