Bu soruda, benzer üçgenlerin önemli bir özelliğini kullanarak büyük üçgenin alanını bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Benzer Üçgenlerin Özelliğini Hatırlayalım:
- İki üçgen benzer olduğunda, bu üçgenlerin karşılıklı kenarlarının, yüksekliklerinin, kenarortaylarının veya çevrelerinin oranına benzerlik oranı denir. Bu oranın karesi ise üçgenlerin alanları oranına eşittir.
- Yani, eğer benzerlik oranı $k$ ise, alanlar oranı $k^2$ olur.
- Matematiksel olarak ifade edersek: $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \left(\frac{\text{Küçük Üçgenin Yüksekliği}}{\text{Büyük Üçgenin Yüksekliği}}\right)^2$
- 2. Verilen Bilgileri Yazalım:
- Soruda bize verilenler şunlardır:
- Küçük üçgenin yüksekliğinin büyük üçgenin yüksekliğine oranı $ = \frac{3}{5}$. Bu aynı zamanda benzerlik oranıdır ($k = \frac{3}{5}$).
- Küçük üçgenin alanı $ = 54 \text{ cm}^2$.
- Büyük üçgenin alanını bulmamız isteniyor.
- 3. Alanlar Oranı Formülünü Uygulayalım:
- Yukarıda bahsettiğimiz özellik gereği, alanlar oranı yükseklikler oranının karesine eşittir:
- $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \left(\frac{3}{5}\right)^2$
- $\frac{\text{Küçük Üçgenin Alanı}}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \frac{3^2}{5^2} = \frac{9}{25}$
- 4. Bilinen Değerleri Yerine Koyup Çözümleyelim:
- Küçük üçgenin alanı $54 \text{ cm}^2$ olduğuna göre, denklemimiz şöyle olur:
- $\frac{54}{\text{Büyük Üçgenin Alanı}} = \frac{9}{25}$
- Şimdi içler dışlar çarpımı yaparak büyük üçgenin alanını bulalım:
- $9 \times \text{Büyük Üçgenin Alanı} = 54 \times 25$
- $\text{Büyük Üçgenin Alanı} = \frac{54 \times 25}{9}$
- Sadeleştirme yapalım: $54$ sayısı $9$'a tam bölünür ($54 \div 9 = 6$).
- $\text{Büyük Üçgenin Alanı} = 6 \times 25$
- $\text{Büyük Üçgenin Alanı} = 150 \text{ cm}^2$
Böylece büyük üçgenin alanını $150 \text{ cm}^2$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
