Efe, kumbarasına ilk gün $10$ TL atmıştır. Sonraki her gün bir önceki günden $3$ TL fazla para atmıştır. Efe'nin $n$. gün kumbarasında biriken toplam parayı gösteren cebirsel ifade aşağıdakilerden hangisi olamaz? (Paranın birikimi değil, o gün atılan miktar sorulmaktadır.)
A) $10 + 3(n-1)$
B) $3n + 7$
C) $3n + 10$
D) $10 + (n-1) \cdot 3$
Sevgili öğrenciler, bu tür soruları çözerken öncelikle problemi iyi anlamak ve verilen bilgileri doğru bir şekilde matematiksel ifadelere dönüştürmek çok önemlidir. Haydi, Efe'nin kumbarasına attığı parayı adım adım inceleyelim:
- Problemi Anlayalım: Efe, kumbarasına ilk gün belli bir miktar para atıyor ve sonraki her gün bu miktarı sabit bir değerde artırıyor. Bizden istenen, $n$. gün kumbaraya atılan parayı gösteren cebirsel ifadeyi bulmak ve seçeneklerden hangisinin bu ifade olamayacağını belirlemek. Burada önemli olan, "o gün atılan miktar" olduğudur, biriken toplam para değil.
- Verilen Bilgileri Not Edelim:
- İlk gün atılan para (1. gün): $10$ TL
- Sonraki her gün bir önceki günden $3$ TL fazla atılıyor. Bu, artış miktarının sabit olduğu anlamına gelir.
- Günlük Atılan Para Miktarlarını Belirleyelim:
- 1. gün: $10$ TL
- 2. gün: $10 + 3 = 13$ TL
- 3. gün: $13 + 3 = 16$ TL (veya $10 + 2 \cdot 3 = 16$ TL)
- 4. gün: $16 + 3 = 19$ TL (veya $10 + 3 \cdot 3 = 19$ TL)
- Cebirsel İfadeyi Bulalım: Gördüğümüz gibi, Efe'nin her gün attığı para miktarları bir aritmetik dizi oluşturuyor.
- Aritmetik dizinin ilk terimi ($A_1$) $10$'dur.
- Ortak fark ($d$) $3$'tür.
- Bir aritmetik dizinin $n$. terimini bulmak için genel formül şöyledir: $A_n = A_1 + (n-1)d$
- Şimdi bu formülde $A_1 = 10$ ve $d = 3$ değerlerini yerine koyalım:
$A_n = 10 + (n-1) \cdot 3$
- Bulduğumuz İfadeyi Sadeleştirelim:
- $A_n = 10 + (n-1) \cdot 3$
- Parantezi dağıtalım: $A_n = 10 + 3n - 3$
- Benzer terimleri birleştirelim: $A_n = 3n + 7$
- Seçenekleri Kontrol Edelim: Şimdi bulduğumuz doğru ifade olan $A_n = 10 + (n-1) \cdot 3$ veya sadeleşmiş hali olan $A_n = 3n + 7$ ile seçenekleri karşılaştıralım.
- A) $10 + 3(n-1)$: Bu ifade, bizim bulduğumuz $A_n = 10 + (n-1) \cdot 3$ ifadesiyle aynıdır. Dolayısıyla bu ifade olabilir.
- B) $3n + 7$: Bu ifade, bizim bulduğumuz $A_n = 3n + 7$ ifadesiyle aynıdır. Dolayısıyla bu ifade olabilir.
- C) $3n + 10$: Bu ifadeyi kontrol edelim. Eğer $n=1$ (ilk gün) için bu ifadeyi kullanırsak: $3(1) + 10 = 3 + 10 = 13$ TL olur. Oysa Efe ilk gün $10$ TL atmıştır. Bu ifade doğru değildir. Dolayısıyla bu ifade olamaz.
- D) $10 + (n-1) \cdot 3$: Bu ifade, bizim bulduğumuz $A_n = 10 + (n-1) \cdot 3$ ifadesiyle aynıdır. Dolayısıyla bu ifade olabilir.
Sonuç olarak, Efe'nin $n$. gün kumbarasına attığı para miktarını gösteren cebirsel ifade $10 + (n-1) \cdot 3$ veya sadeleşmiş hali olan $3n + 7$'dir. Seçeneklerdeki $3n + 10$ ifadesi bu durumu karşılamamaktadır.
Cevap C seçeneğidir.
