Aşağıdaki sayı örüntüsünün kuralı nedir?
$3, 7, 11, 15, 19, ...$
A) Genel terimi $4n - 1$
B) Genel terimi $3n + 1$
C) Genel terimi $4n + 1$
D) Genel terimi $3n - 1$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür sayı örüntüsü sorularında, örüntünün kuralını (genel terimini) bulmak için genellikle adımlar arasındaki ilişkiyi inceleriz. Hadi bu soruyu adım adım çözelim:
- Adım 1: Sayılar Arasındaki Farkı Bulun
- Öncelikle, verilen sayı örüntüsündeki ardışık terimler arasındaki farkı bulalım:
- $7 - 3 = 4$
- $11 - 7 = 4$
- $15 - 11 = 4$
- $19 - 15 = 4$
- Gördüğümüz gibi, her terim bir önceki terimden $4$ fazladır. Bu, örüntünün sabit bir artışa sahip olduğu anlamına gelir ve bu tür örüntülere "aritmetik dizi" denir. Sabit farkımız $d = 4$'tür.
- Adım 2: Genel Terim Formülünü Kullanın
- Bir aritmetik dizinin genel terimi (yani $n$. terimi) için kullanılan formül şöyledir: $a_n = a_1 + (n-1)d$
- Burada:
- $a_n$: Dizinin $n$. terimi (bizim aradığımız kural)
- $a_1$: Dizinin ilk terimi. Bizim dizimizde $a_1 = 3$.
- $n$: Terim sayısı (1. terim, 2. terim, vb.)
- $d$: Ortak fark. Bizim dizimizde $d = 4$.
- Şimdi bu değerleri formülde yerine koyalım:
- $a_n = 3 + (n-1)4$
- Adım 3: Genel Terimi Sadeleştirin
- Bulduğumuz ifadeyi sadeleştirelim:
- $a_n = 3 + 4n - 4$ (Parantezi dağıttık)
- $a_n = 4n - 1$ (Benzer terimleri birleştirdik: $3 - 4 = -1$)
- Böylece, sayı örüntüsünün genel terimi $4n - 1$ olarak bulunur.
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırın ve Doğrulayın
- Bulduğumuz genel terimi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) Genel terimi $4n - 1$
- B) Genel terimi $3n + 1$
- C) Genel terimi $4n + 1$
- D) Genel terimi $3n - 1$
- Bizim bulduğumuz genel terim $4n - 1$, A seçeneği ile eşleşmektedir.
- İsterseniz, bulduğumuz kuralı birkaç terim için test edelim:
- $n=1$ için (1. terim): $4(1) - 1 = 4 - 1 = 3$ (Doğru)
- $n=2$ için (2. terim): $4(2) - 1 = 8 - 1 = 7$ (Doğru)
- $n=3$ için (3. terim): $4(3) - 1 = 12 - 1 = 11$ (Doğru)
- Kuralımız doğru çalışıyor.
Cevap A seçeneğidir.
