Aşağıda kibrit çöpleriyle oluşturulan bir şekil örüntüsünün ilk üç adımı verilmiştir.
1. Adım: Bir kare
2. Adım: İki kare yan yana
3. Adım: Üç kare yan yana
Bu örüntüye göre, $6$. adımda kaç tane kibrit çöpü kullanılır? (Her kare için $4$ kibrit çöpü, yan yana eklenen her kare için $3$ yeni kibrit çöpü kullanılır.)
A) $19$
B) $22$
C) $25$
D) $28$
Bu tür şekil örüntüsü sorularında, her adımda kaç tane yeni kibrit çöpü eklendiğini veya toplam kibrit çöpü sayısının nasıl değiştiğini dikkatlice incelememiz gerekir. Hadi adım adım bu örüntüyü çözelim:
- 1. Adım: Örüntüyü Anlama ve İlk Adımları Hesaplama
- Soruda verilen bilgilere göre, her kare $4$ kibrit çöpü kullanılarak oluşturulur. Yan yana eklenen her kare için ise $3$ yeni kibrit çöpü kullanılır. Bu, bir kenarın ortak kullanıldığı anlamına gelir.
- Şimdi ilk üç adımı bu kurala göre hesaplayalım:
- 1. Adım (1 kare): Sadece bir kare olduğu için $4$ kibrit çöpü kullanılır.
- Toplam kibrit çöpü sayısı: $4$
- 2. Adım (2 kare yan yana): İlk kare için $4$ kibrit çöpü kullanılır. İkinci kareyi yanına eklerken, bir kenar ortak olduğu için sadece $3$ yeni kibrit çöpü eklenir.
- Toplam kibrit çöpü sayısı: $4 + 3 = 7$
- 3. Adım (3 kare yan yana): İlk kare için $4$ kibrit çöpü kullanılır. İkinci kare için $3$ yeni kibrit çöpü, üçüncü kare için de $3$ yeni kibrit çöpü eklenir.
- Toplam kibrit çöpü sayısı: $4 + 3 + 3 = 10$
- 2. Adım: Örüntü Kuralını Bulma
- Hesapladığımız adımlardaki kibrit çöpü sayılarını inceleyelim:
- 1. Adım: $4$
- 2. Adım: $7$
- 3. Adım: $10$
- Görüyoruz ki, her adımda kibrit çöpü sayısı $3$ artmaktadır. Bu bir aritmetik dizi oluşturur.
- Genel bir kural yazmak istersek, $n$. adımdaki kibrit çöpü sayısını $K_n$ ile gösterelim:
- $K_n = \text{İlk adım} + (\text{Adım Sayısı} - 1) \times \text{Artış Miktarı}$
- Bu durumda: $K_n = 4 + (n-1) \times 3$
- Bu formülü kontrol edelim:
- $n=1$ için: $K_1 = 4 + (1-1) \times 3 = 4 + 0 \times 3 = 4$ (Doğru)
- $n=2$ için: $K_2 = 4 + (2-1) \times 3 = 4 + 1 \times 3 = 4 + 3 = 7$ (Doğru)
- $n=3$ için: $K_3 = 4 + (3-1) \times 3 = 4 + 2 \times 3 = 4 + 6 = 10$ (Doğru)
- Formülümüz doğru çalışıyor!
- 3. Adım: 6. Adımdaki Kibrit Çöpü Sayısını Hesaplama
- Şimdi $n=6$ için formülümüzü kullanalım:
- $K_6 = 4 + (6-1) \times 3$
- $K_6 = 4 + 5 \times 3$
- $K_6 = 4 + 15$
- $K_6 = 19$
Buna göre, $6$. adımda $19$ tane kibrit çöpü kullanılır.
Cevap A seçeneğidir.
