Bir duvara dayandırılmış $15 \text{ metre}$ uzunluğundaki bir merdivenin ayağı duvardan $9 \text{ metre}$ uzakta bulunmaktadır. Buna göre, merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
A) $10$
B) $12$
C) $13$
D) $14$
Sevgili öğrenciler, bu problemde bir merdiven, bir duvar ve yer arasında oluşan özel bir üçgen durumunu inceleyeceğiz. Merdiven duvara dayandığında, yer ve duvar birbirine dik olduğu için, bu üç eleman bir dik üçgen oluşturur. Bu tür problemlerde genellikle Pisagor Teoremi'ni kullanırız.
- Problemi Anlayalım ve Şekli Gözümüzde Canlandıralım:
Bir merdiven duvara dayalı duruyor. Bu durumda:
- Merdivenin kendisi, dik üçgenin en uzun kenarı olan hipotenüsü temsil eder.
- Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı, dik üçgenin bir dik kenarını temsil eder.
- Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği ise dik üçgenin diğer dik kenarını temsil eder.
- Verilen Bilgileri Belirleyelim:
- Merdivenin uzunluğu (hipotenüs, $c$) = $15 \text{ metre}$
- Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı (bir dik kenar, $a$) = $9 \text{ metre}$
- Merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği (diğer dik kenar, $b$) = Bilinmiyor, bunu bulmalıyız.
- Pisagor Teoremi'ni Hatırlayalım:
Bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamı, hipotenüsün karesine eşittir. Matematiksel olarak ifade edersek:
$a^2 + b^2 = c^2$
Burada $a$ ve $b$ dik kenarlar, $c$ ise hipotenüstür.
- Değerleri Formülde Yerine Koyalım:
Verilen değerleri Pisagor Teoremi'nde yerine yazalım:
$9^2 + b^2 = 15^2$
- Denklemi Çözelim:
Şimdi denklemi adım adım çözelim:
- Önce bilinen kareleri hesaplayalım:
- $9^2 = 9 \times 9 = 81$
- $15^2 = 15 \times 15 = 225$
- Denklemimiz şu hale gelir:
- $81 + b^2 = 225$
- $b^2$ değerini yalnız bırakmak için $81$'i eşitliğin diğer tarafına atalım (çıkarma işlemi olarak geçer):
- $b^2 = 225 - 81$
- Çıkarma işlemini yapalım:
- $b^2 = 144$
- Şimdi $b$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $b = \sqrt{144}$
- $144$'ün karekökü $12$'dir (çünkü $12 \times 12 = 144$):
- $b = 12 \text{ metre}$
Buna göre, merdivenin duvara değdiği noktanın yerden yüksekliği $12 \text{ metredir}$.
Cevap B seçeneğidir.
