ayt matematik türev ve türev uygulamaları çıkmış sorular Test 1

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun yerel maksimum değeri kaçtır?

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5

Bir fonksiyonun yerel maksimum değerini bulmak için türev alma ve kritik noktaları analiz etme adımlarını takip etmeliyiz. İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

• Yerel maksimum veya minimum noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini almamız gerekir. Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$'dir.

  Türev kurallarını uygulayarak $f'(x)$'i bulalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(1)$

  $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

• Adım 2: Kritik Noktaları Bulma

• Yerel maksimum veya minimum noktalar, birinci türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalarda meydana gelir. Polinom fonksiyonlar her yerde tanımlı ve türevlenebilir olduğu için, sadece $f'(x) = 0$ denklemini çözmemiz yeterlidir.

  $3x^2 - 12x + 9 = 0$

  Bu denklemi çözmek için her terimi 3'e bölebiliriz:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlara ayırarak köklerini bulabiliriz:

  $(x-1)(x-3) = 0$

  Buradan kritik noktalar $x=1$ ve $x=3$ olarak bulunur.

• Adım 3: İkinci Türev Testini Uygulama (Yerel Maksimum/Minimum Belirleme)

• Hangi kritik noktanın yerel maksimum, hangisinin yerel minimum olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz. Öncelikle fonksiyonun ikinci türevini bulalım:

  $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(9)$

  $f''(x) = 6x - 12$

  Şimdi kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:

  • $x=1$ için:
  • $f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6$
  • $f''(1) < 0$ olduğu için $x=1$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
  • $x=3$ için:
  • $f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6$
  • $f''(3) > 0$ olduğu için $x=3$ noktasında bir yerel minimum vardır.

  Soru bizden yerel maksimum değeri istediği için $x=1$ noktasını kullanacağız.

• Adım 4: Yerel Maksimum Değerini Hesaplama

• Yerel maksimum değeri, $x=1$ noktasını orijinal fonksiyonda yerine koyarak bulunur:

  $f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 1$

  $f(1) = 1 - 6(1) + 9(1) + 1$

  $f(1) = 1 - 6 + 9 + 1$

  $f(1) = 5$

  Buna göre, fonksiyonun yerel maksimum değeri 5'tir.

Cevap E seçeneğidir.