Gerçel sayılarda tanımlı ve türevlenebilir bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği aşağıda verilmiştir. Buna göre $f$ fonksiyonu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?
(Grafik: $f'(x)$ fonksiyonu $x=-2$ ve $x=3$ noktalarında $x$-eksenini kesip işaret değiştirerek yerel minimuma, $x=1$ noktasında $x$-eksenini kesip işaret değiştirerek yerel maksimuma sahiptir. Yani $f'(x)$'in kökleri $-2, 1, 3$ olup, $(-\infty, -2)$ aralığında negatif, $(-2, 1)$ aralığında pozitif, $(1, 3)$ aralığında negatif ve $(3, \infty)$ aralığında pozitiftir.)
A) $f$ fonksiyonunun $x=-2$ noktasında yerel minimumu vardır.
B) $f$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında yerel maksimumu vardır.
C) $f$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında yerel minimumu vardır.
D) $f$ fonksiyonu $(-\infty, -2)$ aralığında azalandır.
E) $f$ fonksiyonu $(1, 3)$ aralığında artandır.
Sevgili öğrenciler, bu soruda bize bir $f$ fonksiyonunun türevi olan $f'$ fonksiyonunun grafiği hakkında bilgi verilmiş ve bu bilgilere dayanarak $f$ fonksiyonu hakkında yapılan yorumlardan hangisinin yanlış olduğunu bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun türevinin işaretini inceleyerek o fonksiyonun artanlık/azalanlık durumunu ve yerel ekstremum noktalarını belirleyebiliriz. İşte adım adım çözümümüz:
- Öncelikle, bir fonksiyonun türevi ile kendisi arasındaki temel ilişkileri hatırlayalım:
- Eğer bir aralıkta $f'(x) > 0$ ise, $f(x)$ o aralıkta artandır.
- Eğer bir aralıkta $f'(x) < 0$ ise, $f(x)$ o aralıkta azalandır.
- Eğer $f'(x)$ bir $x=c$ noktasında işaret değiştiriyorsa, $f(x)$'in o noktada bir yerel ekstremumu (minimum veya maksimum) vardır.
- Eğer $f'(x)$'in işareti $x=c$ noktasında negatiften pozitife değişiyorsa, $f(x)$'in $x=c$ noktasında yerel minimumu vardır.
- Eğer $f'(x)$'in işareti $x=c$ noktasında pozitiftem negatife değişiyorsa, $f(x)$'in $x=c$ noktasında yerel maksimumu vardır.
- Şimdi, soruda verilen $f'(x)$ fonksiyonunun işaret tablosunu oluşturalım:
- $f'(x)$'in kökleri (yani $x$-eksenini kestiği noktalar) $x=-2$, $x=1$ ve $x=3$ olarak verilmiş. Bu noktalar $f$ fonksiyonunun kritik noktalarıdır.
- $(-\infty, -2)$ aralığında $f'(x)$ negatiftir. Bu durumda $f$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
- $(-2, 1)$ aralığında $f'(x)$ pozitiftir. Bu durumda $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- $(1, 3)$ aralığında $f'(x)$ negatiftir. Bu durumda $f$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır.
- $(3, \infty)$ aralığında $f'(x)$ pozitiftir. Bu durumda $f$ fonksiyonu bu aralıkta artandır.
- Bu bilgilere göre her bir seçeneği tek tek inceleyelim:
- A) $f$ fonksiyonunun $x=-2$ noktasında yerel minimumu vardır.
- $x=-2$ noktasında $f'(x)$'in işareti negatiften (solunda) pozitife (sağında) değişmektedir. Bu durum, $f$ fonksiyonunun $x=-2$ noktasında bir yerel minimuma sahip olduğunu gösterir. Bu ifade doğrudur.
- B) $f$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında yerel maksimumu vardır.
- $x=1$ noktasında $f'(x)$'in işareti pozitiften (solunda) negatife (sağında) değişmektedir. Bu durum, $f$ fonksiyonunun $x=1$ noktasında bir yerel maksimuma sahip olduğunu gösterir. Bu ifade doğrudur.
- C) $f$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında yerel minimumu vardır.
- $x=3$ noktasında $f'(x)$'in işareti negatiften (solunda) pozitife (sağında) değişmektedir. Bu durum, $f$ fonksiyonunun $x=3$ noktasında bir yerel minimuma sahip olduğunu gösterir. Bu ifade doğrudur.
- D) $f$ fonksiyonu $(-\infty, -2)$ aralığında azalandır.
- Yukarıdaki analizimizde, $(-\infty, -2)$ aralığında $f'(x)$'in negatif olduğunu belirlemiştik. $f'(x) < 0$ olduğu için $f$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır. Bu ifade doğrudur.
- E) $f$ fonksiyonu $(1, 3)$ aralığında artandır.
- Yukarıdaki analizimizde, $(1, 3)$ aralığında $f'(x)$'in negatif olduğunu belirlemiştik. $f'(x) < 0$ olduğu için $f$ fonksiyonu bu aralıkta azalandır, artan değildir. Bu ifade yanlıştır.
Bu durumda, yanlış olan ifade E seçeneğidir.
Cevap E seçeneğidir.
