Bir çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 7 nokta vardır. Bu noktalar birleştirilerek kaç farklı kiriş çizilebilir?
A) 21Bu soruda, bir çember üzerindeki belirli sayıda noktayı birleştirerek kaç farklı kiriş çizebileceğimizi bulmamız isteniyor. Kiriş, çember üzerindeki iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasıdır. Bu tür problemler genellikle kombinasyon (seçim) prensibiyle çözülür.
Bize verilen bilgiye göre, çember üzerinde eşit aralıklarla işaretlenmiş 7 nokta bulunmaktadır. Bir kiriş oluşturmak için bu 7 noktadan herhangi ikisini seçmemiz gerekir. Noktaların eşit aralıklarla olması, problem çözümü açısından bir farklılık yaratmaz, sadece noktaların belirgin ve ayrık olduğunu gösterir.
Bir kiriş oluşturmak için 7 noktadan 2 nokta seçmemiz gerekiyor. Seçtiğimiz noktaların sırası önemli değildir (yani A noktasından B noktasına çizilen kiriş ile B noktasından A noktasına çizilen kiriş aynı kiriştir). Bu durum, kombinasyon problemini işaret eder.
$n$ farklı eleman arasından $k$ elemanı seçme sayısı, kombinasyon formülü ile bulunur ve $C(n, k)$ veya $\binom{n}{k}$ şeklinde gösterilir. Formül şöyledir:
$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Burada $n!$ (n faktöriyel), $n \times (n-1) \times \dots \times 1$ anlamına gelir.
Bizim problemimizde, toplam nokta sayısı $n = 7$ ve bir kiriş oluşturmak için seçmemiz gereken nokta sayısı $k = 2$'dir. Bu değerleri formülde yerine koyarsak:
$\binom{7}{2} = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!}$
Şimdi faktöriyelleri açarak hesaplamayı yapalım:
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
$2! = 2 \times 1$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$
Formülde yerine koyarsak:
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2 \times 1 \times 5!}$
Pay ve paydadaki $5!$ terimlerini sadeleştirebiliriz:
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1}$
$\binom{7}{2} = \frac{42}{2}$
$\binom{7}{2} = 21$
Bu durumda, 7 noktadan 2 nokta seçerek 21 farklı kiriş çizebiliriz.
Cevap A seçeneğidir.
