Bir $ABC$ dik üçgeninde $A$ köşesi dik açıdır. $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye indirilen yükseklik ayağı $H$ olsun. $BH = 2$ birim ve $BC = 8$ birim olduğuna göre, $AB$ kenarının uzunluğu kaç birimdir?
(Şekil: Bir $ABC$ dik üçgeninde $A$ açısı dik açıdır. $A$ köşesinden $BC$ hipotenüsüne $AH$ yüksekliği inmiştir. $BH = 2$, $BC = 8$ olarak verilmiştir.)
A) $2\sqrt{2}$
B) $3\sqrt{2}$
C) $4$
D) $4\sqrt{2}$
E) $5$
Bu soruda, bir dik üçgende hipotenüse indirilen yüksekliğin oluşturduğu önemli bağıntıları, yani "Öklid Bağıntıları"nı kullanacağız. Bu bağıntılar, dik üçgenlerde kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri anlamamızı sağlar.
- 1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- $ABC$ bir dik üçgendir ve $A$ köşesi dik açıdır ($m(\widehat{BAC}) = 90^\circ$).
- $AH$, $A$ köşesinden hipotenüs $BC$'ye indirilen yüksekliktir. Bu, $AH \perp BC$ demektir.
- $BH = 2$ birim olarak verilmiştir. $BH$, $AB$ kenarının hipotenüs $BC$ üzerindeki izdüşümüdür.
- $BC = 8$ birim olarak verilmiştir. $BC$, üçgenin hipotenüsüdür.
- Bizden $AB$ kenarının uzunluğu istenmektedir.
- 2. Hangi Öklid Bağıntısını Kullanacağımızı Belirleyelim:
- Dik üçgende hipotenüse yükseklik indirildiğinde oluşan Öklid Bağıntılarından biri, bir dik kenarın karesinin, hipotenüs ile o dik kenarın hipotenüs üzerindeki izdüşümünün çarpımına eşit olmasıdır.
- Aradığımız $AB$ kenarı bir dik kenardır. $AB$ kenarının hipotenüs üzerindeki izdüşümü ise $BH$'dir. Hipotenüsün tamamı ise $BC$'dir.
- Bu durumda kullanacağımız bağıntı şudur: $AB^2 = BH \cdot BC$.
- 3. Değerleri Yerine Koyalım ve Hesaplayalım:
- Verilen değerleri $AB^2 = BH \cdot BC$ bağıntısında yerine yazalım:
- $AB^2 = 2 \cdot 8$
- $AB^2 = 16$
- Şimdi $AB$ uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:
- $AB = \sqrt{16}$
- $AB = 4$ birim.
Cevap C seçeneğidir.
