Bir matematik öğretmeni, sınıfındaki öğrenciler için aşağıdaki önermeyi dile getirmiştir:
"Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır."
Bu önermenin değili (olumsuzu) aşağıdakilerden hangisidir?
A) Sınıfımdaki hiçbir öğrenci matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almamıştır.
B) Sınıfımdaki bazı öğrenciler matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır.
C) Sınıfımdaki bazı öğrenciler matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır.
D) Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır.
E) Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puandan farklı bir puan almıştır.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Mantık konusunda çok önemli bir kavram olan "önermenin değili" (olumsuzu) konusunu bu soru üzerinden adım adım inceleyelim. Bir önermenin doğru olması durumunda, onun değilinin yanlış; yanlış olması durumunda ise doğru olması gerektiğini unutmayın. Şimdi sorumuzu çözelim:
- Adım 1: Orijinal Önermeyi Anlayalım
- Öğretmenin dile getirdiği orijinal önerme şudur: "Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır."
- Bu önerme, sınıfın tamamını kapsayan bir genelleme (evrensel niceleyici) içeriyor: "her öğrenci".
- Puan koşulu ise "$70$ puanın üzerinde" olmasıdır, yani puan $ > 70 $ olmalıdır.
- Adım 2: Değilini (Olumsuzunu) Bulmanın Kuralını Hatırlayalım
- Bir önermenin değilini bulurken iki temel değişikliği yapmamız gerekir:
- Niceleyiciyi Değiştirmek: "Her" (evrensel niceleyici) ifadesinin değili "Bazı" veya "En az bir" (varlıksal niceleyici) olur. Aynı şekilde, "Bazı" ifadesinin değili "Her" olur.
- Yüklemi Değiştirmek: Önermenin geri kalan kısmının (yükleminin) olumsuzunu almalıyız. Örneğin, "$P$ doğrudur" ifadesinin değili "$P$ doğru değildir" olur.
- Adım 3: Orijinal Önermenin Niceleyicisini Değiştirelim
- Orijinal önermede "her öğrenci" ifadesi geçiyor.
- Bu ifadenin değili "bazı öğrenciler" veya "en az bir öğrenci" olacaktır.
- Adım 4: Orijinal Önermenin Yüklemini Değiştirelim
- Orijinal önermenin yüklemi "matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır" ifadesidir. Yani, puan $ > 70 $.
- Bu ifadenin değili (olumsuzu) ne anlama gelir? "$70$ puanın üzerinde almamıştır" demektir.
- Bir öğrenci $70$ puanın üzerinde almadıysa, ya $70$ puan almıştır ya da $70$ puandan daha az almıştır. Yani, puan $ \le 70 $ olmalıdır.
- Dolayısıyla, "matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır" ifadesinin değili "matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır" şeklindedir.
- Adım 5: Değiştirilmiş Niceleyici ve Yüklemi Birleştirelim
- Şimdi Adım 3 ve Adım 4'te bulduğumuz kısımları birleştirelim:
- "Sınıfımdaki bazı öğrenciler matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır."
- Adım 6: Seçenekleri İnceleyelim
- A) Sınıfımdaki hiçbir öğrenci matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almamıştır. (Bu, "her öğrenci $ \le 70 $ almıştır" demektir, bizim bulduğumuzdan farklı.)
- B) Sınıfımdaki bazı öğrenciler matematik dersinden $70$ puanın üzerinde almıştır. (Bu, orijinal önermenin kendisiyle çelişmez, değili değildir.)
- C) Sınıfımdaki bazı öğrenciler matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır. (Bu, bizim Adım 5'te bulduğumuz ifadeyle tamamen aynıdır.)
- D) Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puana eşit veya daha az almıştır. (Bu, "hiçbir öğrenci $ > 70 $ almamıştır" demektir, yine farklı.)
- E) Sınıfımdaki her öğrenci matematik dersinden $70$ puandan farklı bir puan almıştır. (Bu, $ \ne 70 $ demektir, $ \le 70 $ ile aynı değildir.)
Gördüğünüz gibi, doğru cevap C seçeneğidir.
Cevap C seçeneğidir.
