9. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 2

Bir mahalledeki ev fiyatları (bin TL cinsinden) şöyledir: $200, 220, 250, 280, 300, 320, 350, 1500$.
Bu veri grubunun aritmetik ortalaması ve medyanı hesaplanmıştır.

• I. Aritmetik ortalama, veri grubundaki uç değerlerden daha az etkilenir.
• II. Medyan, veri grubundaki uç değerlerden daha çok etkilenir.
• III. Bu veri grubunda medyan, ev fiyatları hakkında daha temsili bir bilgi verir.

Yukarıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

A) Yalnız I

B) Yalnız II

C) Yalnız III

D) I ve II

E) I, II ve III

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir veri grubunun (ev fiyatları) aritmetik ortalamasını ve medyanını hesaplayarak, bu istatistiksel ölçütlerin uç değerlerden nasıl etkilendiğini ve hangisinin daha temsili bilgi verdiğini değerlendireceğiz. Haydi adım adım ilerleyelim!

• Adım 1: Veri Grubunu Tanıma ve Sıralama
  • Veri grubumuzdaki ev fiyatları (bin TL cinsinden) şöyledir: $200, 220, 250, 280, 300, 320, 350, 1500$.
  • Toplam $n=8$ adet veri bulunmaktadır.
  • Medyanı bulmak için verileri küçükten büyüğe doğru sıralamamız gerekir. Zaten sıralı haldeler: $200, 220, 250, 280, 300, 320, 350, 1500$.
• Adım 2: Aritmetik Ortalamayı Hesaplama
  • Aritmetik ortalama, veri grubundaki tüm değerlerin toplamının, veri sayısına bölünmesiyle bulunur.
  • Formül: $\text{Aritmetik Ortalama} = \frac{\text{Tüm Değerlerin Toplamı}}{\text{Veri Sayısı}}$
  • Değerlerin toplamı: $200 + 220 + 250 + 280 + 300 + 320 + 350 + 1500 = 3420$.
  • Veri sayısı: $8$.
  • Aritmetik ortalama: $\frac{3420}{8} = 427.5$.
• Adım 3: Medyanı Hesaplama
  • Medyan, sıralanmış bir veri grubunun tam ortasındaki değerdir. Veri sayısı çift ise, ortadaki iki değerin ortalaması alınır.
  • Veri sayımız $n=8$ (çift sayı) olduğu için, medyan $n/2$. ve $(n/2)+1$. sıradaki değerlerin ortalaması olacaktır.
  • $n/2 = 8/2 = 4$. sıradaki değer: $280$.
  • $(n/2)+1 = (8/2)+1 = 5$. sıradaki değer: $300$.
  • Medyan: $\frac{280 + 300}{2} = \frac{580}{2} = 290$.
• Adım 4: İfadeleri Değerlendirme
  • I. İfade: Aritmetik ortalama, veri grubundaki uç değerlerden daha az etkilenir.
    • Hesapladığımız aritmetik ortalama $427.5$'tir. Veri grubumuzdaki $1500$ değeri, diğer değerlere ($200-350$) göre oldukça yüksek bir uç değerdir. Bu uç değer, aritmetik ortalamayı diğer ev fiyatlarının çoğundan daha yüksek bir değere (örneğin $290$ olan medyandan çok daha yüksek) çekmiştir. Eğer $1500$ değerini çıkarırsak, ortalama $\frac{3420-1500}{7} = \frac{1920}{7} \approx 274.28$ olurdu. Bu büyük değişim, aritmetik ortalamanın uç değerlerden çok etkilendiğini gösterir. Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
  • II. İfade: Medyan, veri grubundaki uç değerlerden daha çok etkilenir.
    • Hesapladığımız medyan $290$'dır. Eğer uç değer olan $1500$'ü veri grubundan çıkarırsak, yeni sıralı veri grubu $200, 220, 250, 280, 300, 320, 350$ olur. Bu durumda $n=7$ (tek sayı) ve medyan $(7+1)/2 = 4$. sıradaki değer olan $280$ olur. Medyan $290$'dan $280$'e düşmüştür. Bu değişim, aritmetik ortalamadaki değişime göre oldukça küçüktür. Bu durum, medyanın uç değerlerden daha az etkilendiğini gösterir. Dolayısıyla, bu ifade yanlıştır.
  • III. İfade: Bu veri grubunda medyan, ev fiyatları hakkında daha temsili bir bilgi verir.
    • Aritmetik ortalama $427.5$ iken, medyan $290$'dır. Veri grubundaki evlerin çoğu ($200, 220, 250, 280, 300, 320, 350$) $200$ ile $350$ bin TL arasında yoğunlaşmıştır. $1500$ bin TL'lik ev, bu mahalledeki tipik bir ev fiyatını temsil etmeyen, oldukça istisnai bir durumdur (uç değer). Aritmetik ortalama, bu uç değerden dolayı yukarı çekilerek, mahalledeki "ortalama" bir evin fiyatını gerçekte olduğundan çok daha yüksek göstermektedir. Medyan ise, $290$ değeriyle, ev fiyatlarının çoğunluğunun bulunduğu aralığa daha yakındır ve bu nedenle mahalledeki ev fiyatları hakkında daha temsili ve gerçekçi bir bilgi sunar. Dolayısıyla, bu ifade doğrudur.
• Adım 5: Sonucu Belirleme
  • Yaptığımız değerlendirmeler sonucunda, sadece III. ifadenin doğru olduğunu gördük.

Cevap C seçeneğidir.