$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 3x - 5$ olduğuna göre, $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{x+5}{3}$
B) $\frac{x-5}{3}$
C) $3x+5$
D) $5x-3$
E) $\frac{x}{3} - 5$
Bir fonksiyonun tersini bulmak, o fonksiyonun "yaptığı işi" geri alan bir fonksiyon bulmak demektir. Yani, eğer $f(x)$ bir $x$ değerini alıp bir $y$ değeri veriyorsa, $f^{-1}(y)$ de o $y$ değerini alıp tekrar $x$ değerini vermelidir. Bu işlemi adım adım nasıl yapacağımızı görelim:
- Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.
- Verilen fonksiyon $f(x) = 3x - 5$'tir. Bu ifadeyi $y = 3x - 5$ şeklinde yazabiliriz.
- Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirin.
- Bu adım, fonksiyonun tersini bulmanın anahtarıdır. $x$ ve $y$'nin rollerini değiştirdiğimizde, yeni denklem $x = 3y - 5$ olur.
- Adım 3: Yeni denklemi $y$ için çözün.
- Amacımız, $y$ değerini $x$ cinsinden ifade etmektir. Bunun için denklemi yeniden düzenleyelim:
- Önce $-5$'i denklemin diğer tarafına atalım:
- $x + 5 = 3y$
- Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $3$'e bölelim:
- $y = \frac{x+5}{3}$
- Adım 4: $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın.
- Bulduğumuz $y$ ifadesi, orijinal fonksiyonumuzun tersidir. Bu yüzden $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazarak sonuca ulaşırız:
- $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$
Bu adımları takip ettiğimizde, $f(x) = 3x - 5$ fonksiyonunun tersinin $f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3}$ olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
