10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 1

$f: \mathbb{R} - \{2\} \to \mathbb{R} - \{3\}$, $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$ olduğuna göre, $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{2x+1}{x-3}$

B) $\frac{2x-1}{x-3}$

C) $\frac{x+1}{x-3}$

D) $\frac{2x-1}{3-x}$

E) $\frac{2x+1}{3-x}$

Bir fonksiyonun tersini ($f^{-1}(x)$) bulmak için genellikle aşağıdaki adımları izleriz:

• Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.

  Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{3x+1}{x-2}$ şeklindedir. Tersini bulmak için ilk olarak $f(x)$ yerine $y$ yazarak denklemi $y = \frac{3x+1}{x-2}$ haline getiririz.

• Adım 2: $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerini değiştirin.

  Ters fonksiyonun tanımı gereği, fonksiyonun girdisi ve çıktısı yer değiştirir. Bu nedenle, denklemdeki her $x$ yerine $y$, her $y$ yerine $x$ yazarız. Yeni denklemimiz $x = \frac{3y+1}{y-2}$ olur.

• Adım 3: $y$ değişkenini yalnız bırakın.

  Şimdi amacımız, bu yeni denklemi $y$ cinsinden çözmektir. Yani $y$'yi denklemin bir tarafında yalnız bırakmalıyız.

  • Denklemi paydadan kurtarmak için her iki tarafı $(y-2)$ ile çarpalım:

    $x(y-2) = 3y+1$

  • Parantezi dağıtalım:

    $xy - 2x = 3y+1$

  • İçinde $y$ olan terimleri denklemin bir tarafına, diğer terimleri ise karşı tarafa toplayalım. $3y$'yi sol tarafa, $-2x$'i sağ tarafa atalım:

    $xy - 3y = 2x+1$

  • Sol taraftaki terimlerde ortak çarpan $y$ olduğu için $y$ parantezine alalım:

    $y(x-3) = 2x+1$

  • Şimdi $y$'yi yalnız bırakmak için her iki tarafı $(x-3)$ ile bölelim:

    $y = \frac{2x+1}{x-3}$

• Adım 4: $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazın.

  Bulduğumuz $y$ ifadesi, orijinal fonksiyonun tersidir. Bu yüzden $y$ yerine $f^{-1}(x)$ yazarız.

  Sonuç olarak, $f^{-1}(x) = \frac{2x+1}{x-3}$ elde ederiz.

Bulduğumuz ters fonksiyonu seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.