10. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 1

Bir banka, müşterilerine yıllık bileşik faiz oranı yüzde $r$ olan bir mevduat hesabı sunmaktadır. Hesaba yatırılan $P$ miktarındaki paranın $t$ yıl sonraki değeri $A(t) = P(1+r)^t$ formülü ile hesaplanmaktadır.
Eğer bir müşteri $1000 \text{ TL}$'yi yıllık yüzde $10$ faiz oranıyla bu hesaba yatırırsa, kaç yıl sonra hesaptaki para $1210 \text{ TL}$ olur?

A) $1$

B) $2$

C) $3$

D) $4$

E) $5$

Bu problemde, bileşik faiz formülünü kullanarak birikim hesabındaki paranın belirli bir miktara ulaşması için ne kadar süre geçmesi gerektiğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Formülü ve Değişkenleri Anlayalım:

  Bize verilen formül $A(t) = P(1+r)^t$ şeklindedir.

  Burada:

  $A(t)$: $t$ yıl sonra hesaptaki toplam para miktarını (gelecek değer) gösterir.

  $P$: Başlangıçta hesaba yatırılan ana para miktarını (bugünkü değer) gösterir.

  $r$: Yıllık faiz oranını ondalık sayı olarak gösterir. Örneğin, yüzde $10$ faiz oranı $0.10$ olarak yazılır.

  $t$: Paranın hesapta kaldığı yıl sayısını gösterir.

• 2. Verilen Bilgileri Belirleyelim:

  Soruda bize şu bilgiler verilmiştir:

  Başlangıçtaki ana para ($P$): $1000 \text{ TL}$

  Yıllık faiz oranı ($r$): Yüzde $10$. Bunu ondalık sayıya çevirirsek $r = \frac{10}{100} = 0.10$ olur.

  Hesaptaki paranın ulaşmasını istediğimiz miktar ($A(t)$): $1210 \text{ TL}$

  Bulmamız gereken süre ($t$): ?

• 3. Bilgileri Formülde Yerine Koyalım:

  Şimdi bu değerleri $A(t) = P(1+r)^t$ formülünde yerine yazalım:

  $1210 = 1000(1+0.10)^t$

• 4. Denklemi Sadeleştirelim:

  Parantez içindeki işlemi yapalım:

  $1210 = 1000(1.10)^t$

• 5. Üslü İfadeyi Yalnız Bırakalım:

  Denklemin her iki tarafını $1000$'e bölelim ki $(1.10)^t$ ifadesi yalnız kalsın:

  $\frac{1210}{1000} = (1.10)^t$

  $1.21 = (1.10)^t$

• 6. $t$ Değerini Bulalım:

  Şimdi $1.21$ sayısının $1.10$'un kaçıncı kuvveti olduğunu düşünelim. $1.10 \times 1.10$ işlemini yaparsak:

  $1.10 \times 1.10 = 1.21$

  Bu durumda, $1.21 = (1.10)^2$ olduğunu görürüz.

  Denklemimiz $1.10^2 = (1.10)^t$ haline gelir. Tabanlar eşit olduğunda üsler de eşit olmalıdır.

  Yani, $t = 2$ yıl.

Buna göre, hesaptaki para $2$ yıl sonra $1210 \text{ TL}$ olur.

Cevap B seçeneğidir.