9. Sınıf Üslü Gösterimlerle Çarpma ve Bölme İşlemi Nasıl Yapılır? Konu Özeti ve Soruları Test 1

\( \frac{2^{a+3} \cdot 4^{a-1}}{8^{a-2}} \) ifadesinin en sade hali aşağıdakilerden hangisidir?

A) 2⁵
B) 2⁷
C) 4⁴
D) 8²

Merhaba sevgili öğrenciler! Üslü ifadelerle ilgili bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Amacımız, verilen ifadeyi en sade haline getirmek.

• Adım 1: Tüm Tabanları Ortak Bir Tabana Dönüştürme

Üslü ifadelerde sadeleştirme yaparken, genellikle tüm tabanları aynı sayıya dönüştürmek işimizi kolaylaştırır. Burada $2$, $4$ ve $8$ sayıları var. Bu sayıların hepsi $2$'nin kuvvetleri şeklinde yazılabilir:

• $4 = 2^2$
• $8 = 2^3$

Şimdi bu dönüşümleri kullanarak ifademizi yeniden yazalım.

• Adım 2: İfadeyi Yeniden Düzenleme

Verilen ifade: $ \frac{2^{a+3} \cdot 4^{a-1}}{8^{a-2}} $

$4^{a-1}$ ifadesini $2$ tabanında yazalım:

• $4^{a-1} = (2^2)^{a-1}$
• Üslü sayılarda kuvvetin kuvveti kuralını hatırlayalım: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
• Yani, $(2^2)^{a-1} = 2^{2 \cdot (a-1)} = 2^{2a-2}$ olur.

$8^{a-2}$ ifadesini $2$ tabanında yazalım:

• $8^{a-2} = (2^3)^{a-2}$
• Yine aynı kuralı kullanarak: $(2^3)^{a-2} = 2^{3 \cdot (a-2)} = 2^{3a-6}$ olur.

Şimdi bu yeni ifadeleri ana denklemimize yerleştirelim:

• $ \frac{2^{a+3} \cdot 2^{2a-2}}{2^{3a-6}} $
• Adım 3: Pay Kısmını Sadeleştirme

Pay kısmında iki üslü ifade çarpım durumunda. Tabanlar aynı olduğu için üsleri toplayabiliriz. Kural: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

• $2^{a+3} \cdot 2^{2a-2} = 2^{(a+3) + (2a-2)}$
• Üsleri toplayalım: $(a+3) + (2a-2) = a+3+2a-2 = 3a+1$
• Yani, pay kısmı $2^{3a+1}$ olur.

İfademiz şimdi şu hale geldi:

• $ \frac{2^{3a+1}}{2^{3a-6}} $
• Adım 4: Son Sadeleştirme

Şimdi elimizde aynı tabana sahip iki üslü ifadenin bölümü var. Bölme işleminde tabanlar aynıysa üsler çıkarılır. Kural: $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $. Payın üssünden paydanın üssünü çıkaracağız.

• $ \frac{2^{3a+1}}{2^{3a-6}} = 2^{(3a+1) - (3a-6)} $
• Üsleri çıkarırken dikkatli olalım, parantez içindeki her terimin işaretini değiştirmeliyiz:
• $(3a+1) - (3a-6) = 3a+1-3a+6$
• $3a$ terimleri birbirini götürür ($3a - 3a = 0$).
• Geriye kalanlar: $1+6 = 7$
• Yani, ifadenin en sade hali $2^7$ olur.
• Adım 5: Seçeneklerle Karşılaştırma

Bulduğumuz sonuç $2^7$. Seçeneklere baktığımızda:

• A) $2^5$
• B) $2^7$
• C) $4^4 = (2^2)^4 = 2^8$
• D) $8^2 = (2^3)^2 = 2^6$

Görüyoruz ki bulduğumuz sonuç B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.