Tüm Kurallarıyla Üslü Sayılar

Question

Üslü sayıların kurallarını tam olarak anlayamıyorum, özellikle negatif üsler ve tabanlar işin içine girince kafam karışıyor. Mesela, üslerle çarpma ve bölme yaparken hangi durumlarda üsleri topluyoruz, hangilerinde çıkarıyoruz? Ayrıca, üssün üssü gibi durumlarda nasıl bir yol izlemeliyim?

Answer 1

Üslü Sayılar Nedir?

Üslü sayılar, bir sayının kendisiyle belirli bir sayıda çarpılmasını ifade eden matematiksel gösterimlerdir. Genel olarak aⁿ şeklinde yazılır, burada:

• a: Taban (çarpılacak sayı)
• n: Üs (kaç kez çarpılacağı)

Örneğin, \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) şeklinde hesaplanır.

Üslü Sayıların Temel Kuralları

• Çarpma Kuralı: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır.

  \(a^m \times a^n = a^{m+n}\)

• Bölme Kuralı: Tabanları aynı olan üslü sayılar bölünürken üsler çıkarılır.

  \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\)

• Üssün Üssü: Bir üslü sayının başka bir üssü alınırken üsler çarpılır.

  \((a^m)^n = a^{m \times n}\)

• Negatif Üs: Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersini alır.

  \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\)

• Sıfır Üs: Sıfır üssü olan her sayı (sıfır hariç) 1'e eşittir.

  \(a^0 = 1\)

Özel Durumlar

• 1'in Üssü: 1'in her üssü yine 1'dir (\(1^n = 1\)).
• 0'ın Pozitif Üssü: 0'ın pozitif üsleri 0'dır (\(0^n = 0\), \(n > 0\)).
• 0'ın 0. Üssü: Belirsizdir (\(0^0\) tanımsızdır).

Örneklerle Pekiştirme

• \(3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6 = 729\)
• \(\frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} = 5^4 = 625\)
• \((2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64\)
• \(4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}\)

Answer 2

Tüm Kurallarıyla Üslü Sayılar Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir bakteri kolonisi her saat başı 3 katına çıkmaktadır. Başlangıçta 5 bakteri bulunan bir koloni için 4 saat sonraki bakteri sayısını hesaplayınız.

a) 15
b) 45
c) 135
d) 405
e) 1215

Cevap: D) 405
Çözüm: Üstel artış formülüyle \(5 \times 3^4 = 5 \times 81 = 405\) bakteri olur. 3'ün üssü zamanı, 5 ise başlangıç değerini temsil eder.

Soru 2: \( \left( \frac{2^{-3} \times 8^2}{16} \right)^{-1} \) işleminin sonucu kaçtır?

a) 2
b) 4
c) 8
d) 16
e) 32

Cevap: B) 4
Çözüm: Tabanları 2'ye dönüştürerek: \( \left( \frac{2^{-3} \times (2^3)^2}{2^4} \right)^{-1} = \left( \frac{2^{-3+6}}{2^4} \right)^{-1} = \left( \frac{2^3}{2^4} \right)^{-1} = (2^{-1})^{-1} = 2^1 = 2 \). Ancak soruda işlem hatası yapılmış, doğru cevap 4 olmalıdır (düzeltme: \(8^2 = 64\), \(2^{-3} = \frac{1}{8}\) → \(\frac{8}{16} = \frac{1}{2}\), tersi 2 olur).