Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi nedir?
$ x^2 - 4x \ge 0 $
$ x^2 - 2x - 15 < 0 $
A) $ (-3, 0] \cup [4, 5) $
B) $ (-\infty, -3) \cup (5, \infty) $
C) $ [0, 4] $
D) $ [-3, 5] $
E) $ (-3, 0) \cup (4, 5) $
Bu eşitsizlik sistemini çözmek için, her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözmeli ve ardından bulduğumuz çözüm kümelerinin kesişimini almalıyız. Hadi adım adım ilerleyelim:
-
Birinci Eşitsizliği Çözelim: $x^2 - 4x \ge 0$
- Öncelikle eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım: $x(x - 4) \ge 0$.
- Bu ifadenin köklerini (sıfırlarını) bulalım: $x = 0$ ve $x = 4$. Bu noktalar, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım veya kritik noktaların belirlediği aralıklarda test değerleri seçelim:
- $x < 0$ için (örneğin $x = -1$): $(-1)(-1 - 4) = (-1)(-5) = 5$. Bu değer $0$'dan büyük veya eşittir ($5 \ge 0$), yani bu aralık çözüme dahildir.
- $0 < x < 4$ için (örneğin $x = 1$): $(1)(1 - 4) = (1)(-3) = -3$. Bu değer $0$'dan büyük veya eşit değildir ($-3 \not\ge 0$), yani bu aralık çözüme dahil değildir.
- $x > 4$ için (örneğin $x = 5$): $(5)(5 - 4) = (5)(1) = 5$. Bu değer $0$'dan büyük veya eşittir ($5 \ge 0$), yani bu aralık çözüme dahildir.
- Eşitsizlik $\ge$ olduğu için kökler de çözüm kümesine dahildir.
- Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_1 = (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ olur.
-
İkinci Eşitsizliği Çözelim: $x^2 - 2x - 15 < 0$
- Öncelikle eşitsizliğin sol tarafını çarpanlarına ayıralım. Çarpımları $-15$, toplamları $-2$ olan iki sayı $-5$ ve $3$'tür. Yani $(x - 5)(x + 3) < 0$.
- Bu ifadenin köklerini (sıfırlarını) bulalım: $x = 5$ ve $x = -3$. Bu noktalar, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
- Şimdi bir işaret tablosu oluşturalım veya kritik noktaların belirlediği aralıklarda test değerleri seçelim:
- $x < -3$ için (örneğin $x = -4$): $(-4 - 5)(-4 + 3) = (-9)(-1) = 9$. Bu değer $0$'dan küçük değildir ($9 \not< 0$), yani bu aralık çözüme dahil değildir.
- $-3 < x < 5$ için (örneğin $x = 0$): $(0 - 5)(0 + 3) = (-5)(3) = -15$. Bu değer $0$'dan küçüktür ($-15 < 0$), yani bu aralık çözüme dahildir.
- $x > 5$ için (örneğin $x = 6$): $(6 - 5)(6 + 3) = (1)(9) = 9$. Bu değer $0$'dan küçük değildir ($9 \not< 0$), yani bu aralık çözüme dahil değildir.
- Eşitsizlik $<$ olduğu için kökler çözüm kümesine dahil değildir.
- İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_2 = (-3, 5)$ olur.
-
Çözüm Kümelerinin Kesişimini Bulalım:
- Şimdi $S_1 = (-\infty, 0] \cup [4, \infty)$ ve $S_2 = (-3, 5)$ kümelerinin kesişimini bulmalıyız. Yani her iki eşitsizliği de aynı anda sağlayan $x$ değerlerini arıyoruz.
- Bu iki kümeyi sayı doğrusu üzerinde düşünelim:
- $S_2$ aralığı $(-3, 5)$'tir.
- Bu aralığın $S_1$'in $(-\infty, 0]$ kısmı ile kesişimi: $(-3, 0]$. (Çünkü $-3 < x \le 0$ olmalı.)
- Bu aralığın $S_1$'in $[4, \infty)$ kısmı ile kesişimi: $[4, 5)$. (Çünkü $4 \le x < 5$ olmalı.)
- Bu iki kesişim aralığının birleşimi, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini verir.
- Çözüm kümesi: $(-3, 0] \cup [4, 5)$.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
