11. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo meb Test 3

Bir çemberde, dışındaki bir $P$ noktasından çembere çizilen teğet $A$ noktasında, kesen ise çemberi $B$ ve $C$ noktalarında kesmektedir. $m(\text{yay } AC) = 140^\circ$ ve $m(\text{yay } AB) = 60^\circ$ olduğuna göre, $m(\angle APB)$ kaç derecedir? (Burada $A$ teğet değme noktasıdır, $PB$ ise kesendir.)

A) $20^\circ$

B) $30^\circ$

C) $40^\circ$

D) $50^\circ$

E) $60^\circ$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir çemberde dışındaki bir noktadan çizilen teğet ve kesen arasındaki açının ölçüsünü bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür problemleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.

• 1. Problemi Anlayalım ve Görselleştirelim:

  Soruda verilenleri bir çember üzerinde hayal edelim veya basitçe çizelim:

  • Bir çemberimiz var.
  • Çemberin dışında bir $P$ noktası var.
  • $P$ noktasından çembere bir teğet çizilmiş ve çembere $A$ noktasında değiyor. Bu doğru parçası $PA$'dır.
  • Aynı $P$ noktasından çembere bir kesen çizilmiş. Bu kesen çemberi $B$ ve $C$ noktalarında kesiyor. Bu doğru parçası $PC$'dir ve $B$ noktası $P$ ile $C$ arasındadır.
  • Bize iki yayın ölçüsü verilmiş: $m(\text{yay } AC) = 140^\circ$ ve $m(\text{yay } AB) = 60^\circ$.
  • Bizden istenen, teğet $PA$ ile kesen $PB$ (veya $PC$) arasındaki açı olan $m(\angle APB)$'nin ölçüsüdür.

• 2. İlgili Geometri Teoremini Hatırlayalım:

  Bir çembere dışındaki bir $P$ noktasından çizilen bir teğet ($PA$) ve bir kesen ($PBC$) arasındaki açının ölçüsü, bu teğet ve kesen tarafından çemberden ayrılan yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir.

  Matematiksel olarak bu kuralı şöyle ifade edebiliriz:

  $m(\angle APB) = \frac{1}{2} (m(\text{yay } AC) - m(\text{yay } AB))$

  Burada $m(\text{yay } AC)$, kesenin çemberi kestiği uzak nokta ($C$) ile teğet değme noktası ($A$) arasındaki yaydır. $m(\text{yay } AB)$ ise kesenin çemberi kestiği yakın nokta ($B$) ile teğet değme noktası ($A$) arasındaki yaydır.

• 3. Verilen Değerleri Formülde Yerine Koyalım ve Hesaplayalım:

  Soruda verilen yay ölçülerini formülümüzde yerine yazalım:

  • $m(\text{yay } AC) = 140^\circ$
  • $m(\text{yay } AB) = 60^\circ$

  Şimdi formülü uygulayalım:

  $m(\angle APB) = \frac{1}{2} (140^\circ - 60^\circ)$

  Önce parantez içindeki çıkarma işlemini yapalım:

  $140^\circ - 60^\circ = 80^\circ$

  Şimdi bu sonucu $\frac{1}{2}$ ile çarpalım:

  $m(\angle APB) = \frac{1}{2} (80^\circ)$

  $m(\angle APB) = 40^\circ$

Buna göre, $m(\angle APB)$ açısının ölçüsü $40^\circ$'dir.

Cevap C seçeneğidir.