12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo meb Test 1

Bir $f(x)$ fonksiyonu için $f'(x)$ türevi, eğer limit varsa, $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ şeklinde tanımlanır.
Buna göre, $f(x) = x^2 - 3x + 1$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevi $f'(2)$ kaçtır?

A) $1$

B) $2$

C) $3$

D) $4$

E) $5$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin tanımını kullanarak belirli bir noktadaki türev değerini bulacağız. Türev tanımı, bir fonksiyonun anlık değişim oranını bulmamızı sağlayan güçlü bir araçtır. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Fonksiyonumuzu ve türev tanımını hatırlayalım.

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2 - 3x + 1$. Bizden istenen ise bu fonksiyonun $x=2$ noktasındaki türevi, yani $f'(2)$ değeridir.

  Türev tanımı şöyledir: $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

  Bu tanımı kullanarak önce genel $f'(x)$ ifadesini bulup, sonra $x=2$ değerini yerine koyacağız.

• 2. Adım: $f(x+h)$ ifadesini hesaplayalım.

  $f(x)$ fonksiyonunda $x$ yerine $(x+h)$ yazarak $f(x+h)$ ifadesini bulalım:

  $f(x+h) = (x+h)^2 - 3(x+h) + 1$

  Parantezleri açalım:

  $f(x+h) = (x^2 + 2xh + h^2) - (3x + 3h) + 1$

  $f(x+h) = x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 1$

• 3. Adım: $f(x+h) - f(x)$ farkını bulalım.

  Şimdi $f(x+h)$ ifadesinden $f(x)$ ifadesini çıkaralım:

  $f(x+h) - f(x) = (x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 1) - (x^2 - 3x + 1)$

  Parantezleri dikkatlice açalım ve benzer terimleri sadeleştirelim:

  $f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 - 3x - 3h + 1 - x^2 + 3x - 1$

  Gördüğünüz gibi, $x^2$ ile $-x^2$, $-3x$ ile $+3x$ ve $+1$ ile $-1$ birbirini götürür. Geriye kalan terimler:

  $f(x+h) - f(x) = 2xh + h^2 - 3h$

• 4. Adım: $\frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ oranını oluşturalım ve sadeleştirelim.

  Bulduğumuz farkı $h$'ye bölelim:

  $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2 - 3h}{h}$

  Paydaki her terimde $h$ çarpanı olduğu için $h$ parantezine alabiliriz:

  $\frac{h(2x + h - 3)}{h}$

  $h \neq 0$ olduğu için (limit alırken $h$ sıfıra yaklaşıyor ama sıfır olmuyor), pay ve paydadaki $h$'leri sadeleştirebiliriz:

  $\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = 2x + h - 3$

• 5. Adım: Limiti alarak $f'(x)$ türevini bulalım.

  Şimdi bu ifadeye $h \to 0$ limitini uygulayalım:

  $f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h - 3)$

  $h$ sıfıra yaklaşırken, $h$ terimi sıfır olur. Dolayısıyla:

  $f'(x) = 2x - 3$

  Bu, fonksiyonumuzun genel türev ifadesidir.

• 6. Adım: $f'(x)$ ifadesini $x=2$ noktasında değerlendirelim.

  Son olarak, bulduğumuz $f'(x) = 2x - 3$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazarak $f'(2)$ değerini bulalım:

  $f'(2) = 2(2) - 3$

  $f'(2) = 4 - 3$

  $f'(2) = 1$

Böylece, $f(x) = x^2 - 3x + 1$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevi $1$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.