12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo meb Çözümlü Sorular

Bir $f$ fonksiyonunun $x = a$ noktasındaki türevi, eğer limit mevcutsa, aşağıdaki limit tanımı ile verilir:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Bu soruda $f(x) = x^2 - 3x + 1$ ve $a = 2$ olarak verilmiştir. Öncelikle $f(2)$ ve $f(2+h)$ değerlerini hesaplayalım.

• $f(2) = (2)^2 - 3(2) + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$
• $f(2+h) = (2+h)^2 - 3(2+h) + 1$

$f(2+h)$ ifadesini açalım:

$f(2+h) = (4 + 4h + h^2) - (6 + 3h) + 1$

$f(2+h) = 4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 1$

$f(2+h) = h^2 + h - 1$

Şimdi bu değerleri türevin limit tanımında yerine yazalım:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{(h^2 + h - 1) - (-1)}{h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h - 1 + 1}{h}$

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 + h}{h}$

Pay kısmını $h$ parantezine alabiliriz:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} \frac{h(h + 1)}{h}$

$h \to 0$ olduğu için $h \neq 0$ kabul edebiliriz ve pay ve paydadaki $h$ terimlerini sadeleştirebiliriz:

$f'(2) = \lim_{h \to 0} (h + 1)$

Şimdi $h$ yerine $0$ yazarak limiti hesaplayalım:

$f'(2) = 0 + 1$

$f'(2) = 1$

Buna göre, $f$ fonksiyonunun $x = 2$ noktasındaki türevi $1$'dir.