12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 3

Denklemi $x^2+y^2-8x+6y-11=0$ olan çemberin merkezi ve yarıçapı aşağıdakilerden hangisidir?

A) Merkez $M(4,-3)$, Yarıçap $r=6$

B) Merkez $M(-4,3)$, Yarıçap $r=6$

C) Merkez $M(4,-3)$, Yarıçap $r=4$

D) Merkez $M(-4,3)$, Yarıçap $r=4$

E) Merkez $M(8,-6)$, Yarıçap $r=11$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bir çemberin genel denklemi verildiğinde, bu çemberin merkezini ve yarıçapını bulmak için genellikle iki yöntem kullanırız: tam kareye tamamlama veya doğrudan formül kullanma. En temel ve anlaşılır yöntem olan tam kareye tamamlama yöntemini adım adım uygulayalım.

Verilen çember denklemi: $x^2+y^2-8x+6y-11=0$

• Adım 1: Denklemi düzenleyelim.

  Denklemdeki $x$ terimlerini ve $y$ terimlerini bir araya getirelim, sabit terimi ise denklemin sağ tarafına atalım:

  $x^2 - 8x + y^2 + 6y = 11$

• Adım 2: $x$ terimleri için tam kare ifade oluşturalım.

  Bir ifadeyi $(x-a)^2$ şeklinde yazmak için $x^2 - 2ax + a^2$ formülünü kullanırız. Bizim $x$ terimlerimiz $x^2 - 8x$. Burada $-2a = -8$ olduğundan $a=4$ olur. Bu durumda $a^2 = 4^2 = 16$ eklememiz gerekir. Ancak denklemin dengesini bozmamak için hem ekleyip hem de çıkarmalıyız:

  $(x^2 - 8x + 16) - 16$

  Bu ifadeyi $(x-4)^2 - 16$ şeklinde yazabiliriz.

• Adım 3: $y$ terimleri için tam kare ifade oluşturalım.

  Benzer şekilde, $y$ terimlerimiz $y^2 + 6y$. Burada $2b = 6$ olduğundan $b=3$ olur. Bu durumda $b^2 = 3^2 = 9$ eklememiz gerekir:

  $(y^2 + 6y + 9) - 9$

  Bu ifadeyi $(y+3)^2 - 9$ şeklinde yazabiliriz.

• Adım 4: Denklemi yeniden yazalım ve düzenleyelim.

  Bulduğumuz tam kare ifadeleri orijinal denkleme yerleştirelim:

  $(x-4)^2 - 16 + (y+3)^2 - 9 = 11$

  Sabit terimleri denklemin sağ tarafına atalım:

  $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 11 + 16 + 9$

  $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 36$

• Adım 5: Çemberin standart denklemi ile karşılaştıralım.

  Bir çemberin standart denklemi $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ şeklindedir. Burada $(a,b)$ çemberin merkezi ve $r$ ise yarıçapıdır.

  Bizim bulduğumuz denklem: $(x-4)^2 + (y+3)^2 = 36$

  Bu denklemi standart formla karşılaştırırsak:

  • $(x-a)^2$ ile $(x-4)^2$ karşılaştırıldığında $a=4$ olur.
  • $(y-b)^2$ ile $(y+3)^2$ karşılaştırıldığında $y-(-3)$ olarak düşünebiliriz, bu durumda $b=-3$ olur.
  • $r^2$ ile $36$ karşılaştırıldığında $r^2=36$ ve $r=\sqrt{36}=6$ olur (yarıçap pozitif bir değerdir).
• Adım 6: Merkezi ve yarıçapı belirleyelim.

  Yukarıdaki karşılaştırmalar sonucunda çemberin merkezi $M(a,b) = M(4,-3)$ ve yarıçapı $r=6$ olarak bulunur.

Bu sonuçlara göre seçenekleri incelediğimizde, doğru cevabın A seçeneği olduğunu görürüz.

Cevap A seçeneğidir.