12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 2

$f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $4(3x^2 - 2x + 1)^3$

B) $(6x - 2)(3x^2 - 2x + 1)^3$

C) $4(6x - 2)(3x^2 - 2x + 1)^3$

D) $12x(3x^2 - 2x + 1)^3$

E) $4(6x - 2)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız çok önemli bir kural olan Zincir Kuralı'nı uygulayarak $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$ fonksiyonunun türevini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Adım 1: Fonksiyonu Tanımlama ve Zincir Kuralını Hatırlama

  Verilen fonksiyon $f(x) = (3x^2 - 2x + 1)^4$ şeklindedir. Bu, bir fonksiyonun başka bir fonksiyonun içine yerleştirildiği bir bileşke fonksiyondur. Yani, bir "iç fonksiyon" ve bir "dış fonksiyon" vardır.

  Zincir Kuralı der ki: Eğer $f(x) = g(h(x))$ ise, o zaman $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$'tir. Yani, dış fonksiyonun türevini alırken iç fonksiyonu olduğu gibi bırakırız ve sonra iç fonksiyonun türevi ile çarparız.

• Adım 2: İç ve Dış Fonksiyonları Belirleme

  Bu fonksiyonda:

  • İç fonksiyonumuz $h(x) = 3x^2 - 2x + 1$'dir.
  • Dış fonksiyonumuz ise $g(u) = u^4$ şeklindedir, burada $u = h(x)$'tir.
• Adım 3: Dış Fonksiyonun Türevini Alma

  Dış fonksiyon $g(u) = u^4$'tür. Bunun $u$'ya göre türevi (güç kuralını kullanarak):

  $g'(u) = \frac{d}{du}(u^4) = 4u^{4-1} = 4u^3$ olur.

  Şimdi $u$ yerine tekrar iç fonksiyonu yazalım: $g'(h(x)) = 4(3x^2 - 2x + 1)^3$.

• Adım 4: İç Fonksiyonun Türevini Alma

  İç fonksiyon $h(x) = 3x^2 - 2x + 1$'dir. Bunun $x$'e göre türevini alalım:

  • $3x^2$'nin türevi: $3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$.
  • $-2x$'in türevi: $-2 \cdot 1x^{1-1} = -2$.
  • $1$'in türevi (sabit sayı olduğu için): $0$.

  Yani, $h'(x) = 6x - 2 + 0 = 6x - 2$ olur.

• Adım 5: Zincir Kuralını Uygulayarak Türevleri Birleştirme

  Şimdi Zincir Kuralı formülünü kullanalım: $f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

  Bulduğumuz türevleri yerine yazarsak:

  $f'(x) = 4(3x^2 - 2x + 1)^3 \cdot (6x - 2)$

  Genellikle daha düzenli görünmesi için $(6x - 2)$ terimini başa alırız:

  $f'(x) = 4(6x - 2)(3x^2 - 2x + 1)^3$

Bu sonuç, seçenekler arasında C seçeneği ile eşleşmektedir.

Cevap C seçeneğidir.