Merkezi $M(3, -2)$ olan ve yarıçapı $r=5$ birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 25$
B) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 5$
C) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$
D) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5$
E) $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$
Sevgili öğrenciler, bu soruda merkezi ve yarıçapı verilen bir çemberin denklemini bulmamız isteniyor. Çember denklemleri konusu, analitik geometrinin temel taşlarından biridir ve mantığını anladığınızda çok kolay olduğunu göreceksiniz. Haydi adım adım bu soruyu çözelim:
- Öncelikle, merkezi $(a, b)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin genel denklemini hatırlayalım. Bu denklem, çember üzerindeki herhangi bir $(x, y)$ noktasının merkeze olan uzaklığının her zaman $r$ olduğunu ifade eder ve şu şekildedir: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$.
- Şimdi soruda bize verilen bilgileri bu genel denkleme yerleştirelim. Soruda çemberin merkezi $M(3, -2)$ olarak verilmiş. Bu durumda $a=3$ ve $b=-2$ demektir.
- Yarıçapı ise $r=5$ birim olarak verilmiş.
- Bu değerleri genel çember denkleminde yerine koyarsak:
- $a=3$ olduğu için $(x-3)^2$ kısmını yazarız.
- $b=-2$ olduğu için $(y-(-2))^2$ kısmını yazarız. Bu ifade $(y+2)^2$ şeklinde sadeleşir.
- $r=5$ olduğu için denklemin sağ tarafı $r^2 = 5^2 = 25$ olur.
- Tüm bu adımları birleştirdiğimizde, çemberin denklemi $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ olarak bulunur.
- Şimdi bulduğumuz bu denklemi seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 25$ (Merkez ve işaretler yanlış)
- B) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 5$ (Yarıçapın karesi yanlış)
- C) $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$ (Doğru denklem)
- D) $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 5$ (Merkez ve yarıçapın karesi yanlış)
- E) $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 25$ (Merkezin $y$ koordinatının işareti yanlış)
Gördüğünüz gibi, bulduğumuz denklem C seçeneği ile tamamen aynıdır.
Cevap C seçeneğidir.
