Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevinin değerini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Fonksiyonun Türevini Bulma
- Öncelikle, verilen $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 1$ fonksiyonunun türevini, yani $f'(x)$'i bulmalıyız. Türev alma kurallarını hatırlayalım:
- Bir terimin türevi için kuvvet kuralını kullanırız: Eğer $g(x) = ax^n$ ise, $g'(x) = n \cdot ax^{n-1}$ olur.
- Sabit bir sayının türevi $0$'dır.
- Toplama ve çıkarma işlemlerinde türev, terimlerin ayrı ayrı türevlerinin toplamı veya farkıdır.
- Şimdi bu kuralları $f(x)$'e uygulayalım:
- $x^3$ teriminin türevi: $3 \cdot x^{3-1} = 3x^2$.
- $-2x^2$ teriminin türevi: $-2 \cdot 2 \cdot x^{2-1} = -4x$.
- $5x$ teriminin türevi: $5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 5x^0 = 5$.
- $-1$ (sabit sayı) teriminin türevi: $0$.
- Bu durumda, fonksiyonumuzun türevi $f'(x) = 3x^2 - 4x + 5$ olur.
- Adım 2: Türevin Değerini Belirli Noktada Hesaplama
- Soruda bizden türevin $x=2$ noktasındaki değeri isteniyor. Bunun için, bulduğumuz $f'(x)$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazmalıyız.
- $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2) + 5$
- Şimdi bu ifadeyi adım adım hesaplayalım:
- Önce üslü ifadeyi hesaplayalım: $(2)^2 = 4$.
- $f'(2) = 3(4) - 4(2) + 5$
- Çarpma işlemlerini yapalım: $3 \cdot 4 = 12$ ve $4 \cdot 2 = 8$.
- $f'(2) = 12 - 8 + 5$
- Şimdi toplama ve çıkarma işlemlerini soldan sağa doğru yapalım: $12 - 8 = 4$.
- $f'(2) = 4 + 5$
- Son olarak: $f'(2) = 9$.
- Böylece, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki türevinin değerini $9$ olarak bulmuş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
