Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız önemli bir kural olan Zincir Kuralı'nı uygulayarak $f(x) = (2x+3)^4$ fonksiyonunun türevini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Fonksiyonu Tanımlama ve Kuralı Hatırlama
- Verilen fonksiyon $f(x) = (2x+3)^4$ bir bileşke fonksiyondur. Yani, bir fonksiyonun (iç fonksiyon) başka bir fonksiyonun (dış fonksiyon) içine yerleştirilmiş halidir. Bu tür fonksiyonların türevini alırken Zincir Kuralı'nı kullanırız.
- Zincir Kuralı'na göre, eğer $f(x) = [g(x)]^n$ şeklinde bir fonksiyonumuz varsa, türevi $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülü ile bulunur.
- Burada, $g(x)$ iç fonksiyonu, $n$ ise üs (kuvvet) değeridir.
- 2. Adım: İç ve Dış Fonksiyonları Belirleme
- Bizim fonksiyonumuz $f(x) = (2x+3)^4$ olduğuna göre:
- İç fonksiyonumuz $g(x) = 2x+3$'tür.
- Üs değerimiz $n = 4$'tür.
- 3. Adım: İç Fonksiyonun Türevini Alma ($g'(x)$)
- Şimdi iç fonksiyonumuz olan $g(x) = 2x+3$'ün türevini alalım:
- $g'(x) = \frac{d}{dx}(2x+3)$
- $2x$'in türevi $2$'dir (çünkü $ax$'in türevi $a$'dır).
- Sabit sayı olan $3$'ün türevi $0$'dır.
- Bu durumda, $g'(x) = 2 + 0 = 2$ olur.
- 4. Adım: Zincir Kuralı'nı Uygulama
- Şimdi Zincir Kuralı formülünü $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ kullanarak türevi bulalım:
- $n = 4$
- $g(x) = 2x+3$
- $n-1 = 4-1 = 3$
- $g'(x) = 2$
- Bu değerleri formülde yerine yazarsak:
- $f'(x) = 4 \cdot (2x+3)^{4-1} \cdot 2$
- $f'(x) = 4 \cdot (2x+3)^3 \cdot 2$
- 5. Adım: İfadeyi Sadeleştirme
- Son olarak, bulduğumuz ifadeyi sadeleştirelim:
- $f'(x) = 4 \cdot 2 \cdot (2x+3)^3$
- $f'(x) = 8(2x+3)^3$
Böylece, $f(x) = (2x+3)^4$ fonksiyonunun türevi $f'(x) = 8(2x+3)^3$ olarak bulunur.
Seçeneklere baktığımızda, bu sonucun C seçeneği ile eşleştiğini görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
