Merhaba sevgili öğrenciler! Bugün sizlerle belirsiz integralin önemli bir çözüm tekniği olan değişken değiştirme (u-substitüsyonu) yöntemini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Hazırsanız başlayalım!
Soru: $\int x(x^2+1)^3 dx$ belirsiz integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Adım 1: Değişken Değişimi (u-substitüsyonu) Belirleme
İntegralimiz $\int x(x^2+1)^3 dx$ şeklindedir. Bu tür integrallerde, genellikle parantez içindeki veya daha karmaşık olan ifadeye $u$ deriz. Burada $(x^2+1)$ ifadesi parantez içindedir ve türevi dışarıdaki $x$ ile ilişkilidir. Bu yüzden:
$u = x^2+1$ olsun.
Adım 2: Diferansiyel Hesaplama
$u = x^2+1$ ifadesinin her iki tarafının $x$'e göre türevini alarak $du$'yu bulalım:
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+1)$
$\frac{du}{dx} = 2x$
Şimdi $du$'yu yalnız bırakalım:
$du = 2x \, dx$
Orijinal integralimizde sadece $x \, dx$ ifadesi olduğu için, $du = 2x \, dx$ eşitliğini $x \, dx$ cinsinden düzenleyelim:
$x \, dx = \frac{1}{2} du$
Adım 3: İntegrali u Cinsinden Yeniden Yazma
Şimdi orijinal integralimizdeki $x^2+1$ yerine $u$ ve $x \, dx$ yerine $\frac{1}{2} du$ yazalım:
$\int x(x^2+1)^3 dx = \int (x^2+1)^3 \cdot x \, dx$
$= \int u^3 \cdot \frac{1}{2} du$
Sabit terimi integral dışına alabiliriz:
$= \frac{1}{2} \int u^3 du$
Adım 4: İntegrali Çözme
Şimdi temel integral alma kuralını ($ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C $) kullanarak $\int u^3 du$ integralini çözelim:
$\int u^3 du = \frac{u^{3+1}}{3+1} + C = \frac{u^4}{4} + C$
Bu sonucu Adım 3'teki ifadeye yerine koyalım:
$\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{u^4}{4} \right) + C$
$= \frac{u^4}{8} + C$
Adım 5: u Yerine Tekrar x Cinsinden Değerini Yazma
Son olarak, Adım 1'de belirlediğimiz $u = x^2+1$ değerini yerine yazarak integralin $x$ cinsinden eşitini bulalım:
$\frac{(x^2+1)^4}{8} + C$
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
