12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 2

$f(x) = x^2$ fonksiyonunun $[0, 2]$ aralığındaki sağ Riemann toplamı $R_2$ kaçtır? (İki eşit alt aralık kullanılarak hesaplanacaktır.)

A) $1$

B) $2$

C) $3$

D) $4$

E) $5$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki sağ Riemann toplamını nasıl hesaplayacağımızı adım adım öğreneceğiz. Riemann toplamı, bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki alanını yaklaşık olarak bulmak için kullanılan bir yöntemdir.

• Adım 1: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Tanımlayalım

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = x^2$ ve aralık $[0, 2]$'dir. Riemann toplamını hesaplamak için $n=2$ adet eşit alt aralık kullanmamız isteniyor. Sağ Riemann toplamı $R_2$ değerini bulacağız.

• Adım 2: Alt Aralıkların Genişliğini ($\Delta x$) Hesaplayalım

  Aralığımız $[a, b]$ ise, alt aralıkların genişliği $\Delta x = \frac{b - a}{n}$ formülüyle bulunur. Burada $a=0$, $b=2$ ve $n=2$ olduğu için:

  $\Delta x = \frac{2 - 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

  Her bir alt aralığın genişliği $1$ birim olacaktır.

• Adım 3: Alt Aralıkları Belirleyelim

  Aralığımız $[0, 2]$ ve $\Delta x = 1$ olduğu için, alt aralıklarımızı belirleyelim:

  • Birinci alt aralık: $[0, 0 + \Delta x] = [0, 1]$
  • İkinci alt aralık: $[1, 1 + \Delta x] = [1, 2]$
• Adım 4: Sağ Uç Noktalarını Belirleyelim

  Sağ Riemann toplamı için her alt aralığın sağ uç noktasını kullanırız:

  • Birinci alt aralık $[0, 1]$ için sağ uç nokta $x_1^* = 1$.
  • İkinci alt aralık $[1, 2]$ için sağ uç nokta $x_2^* = 2$.
• Adım 5: Sağ Uç Noktalardaki Fonksiyon Değerlerini Hesaplayalım

  Şimdi bu sağ uç noktalarda $f(x) = x^2$ fonksiyonunun değerlerini bulalım:

  • $f(x_1^*) = f(1) = 1^2 = 1$.
  • $f(x_2^*) = f(2) = 2^2 = 4$.
• Adım 6: Sağ Riemann Toplamını ($R_2$) Hesaplayalım

  Sağ Riemann toplamı $R_n = \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*) \Delta x$ formülüyle hesaplanır. Bizim durumumuzda $n=2$ olduğu için:

  $R_2 = f(x_1^*) \Delta x + f(x_2^*) \Delta x$

  Bulduğumuz değerleri yerine yazalım:

  $R_2 = f(1) \cdot 1 + f(2) \cdot 1$

  $R_2 = 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1$

  $R_2 = 1 + 4$

  $R_2 = 5$.

Böylece, $f(x) = x^2$ fonksiyonunun $[0, 2]$ aralığındaki iki eşit alt aralık kullanılarak hesaplanan sağ Riemann toplamı $5$ olarak bulunur.

Cevap E seçeneğidir.