12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 1

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı kaçtır?

A) $0$

B) $1$

C) $2$

D) $3$

E) $4$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsislerini bulma ve bu apsisleri toplama üzerine bir problem çözeceğiz. Yerel ekstremum noktaları, bir fonksiyonun grafiğinde tepe veya çukur noktaları olarak düşünebileceğimiz, yani yerel maksimum veya yerel minimum değerlere sahip olduğu noktalardır. Bu noktaları bulmak için fonksiyonun birinci türevini kullanırız.

• Adım 1: Fonksiyonun Birinci Türevini Hesaplama

  Bir fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsislerini bulmak için ilk yapmamız gereken, fonksiyonun birinci türevini almaktır. Verilen fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 4$.

  Türev alma kurallarını uygulayarak $f(x)$'in birinci türevini, yani $f'(x)$'i bulalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(4)$

  $f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} - 9 \cdot 1x^{1-1} + 0$

  $f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

• Adım 2: Birinci Türevi Sıfıra Eşitleme

  Yerel ekstremum noktalarının apsisleri, birinci türevin sıfır olduğu noktalardır (eğer türev bu noktalarda tanımlıysa, ki polinom fonksiyonlar için her zaman tanımlıdır). Bu noktalara kritik noktalar denir.

  Bulduğumuz $f'(x)$ ifadesini sıfıra eşitleyelim:

  $3x^2 - 6x - 9 = 0$

• Adım 3: Denklemi Çözerek Apsisleri Bulma

  Şimdi elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemi çözerek $x$ değerlerini bulmalıyız. Bu $x$ değerleri, fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri olacaktır.

  Denklemi sadeleştirmek için her terimi $3$'e bölebiliriz:

  $\frac{3x^2}{3} - \frac{6x}{3} - \frac{9}{3} = \frac{0}{3}$

  $x^2 - 2x - 3 = 0$

  Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-3$ ve toplamları $-2$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-3$ ve $1$'dir.

  $(x - 3)(x + 1) = 0$

  Buradan iki olası $x$ değeri elde ederiz:

  • $x - 3 = 0 \implies x_1 = 3$
  • $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

  Bu $x_1 = 3$ ve $x_2 = -1$ değerleri, fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleridir.

• Adım 4: Apsislerin Toplamını Hesaplama

  Soruda bizden yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı isteniyor. Bulduğumuz apsisleri toplayalım:

  Apsisler toplamı $= x_1 + x_2 = 3 + (-1) = 3 - 1 = 2$

Buna göre, fonksiyonun yerel ekstremum noktalarının apsisleri toplamı $2$'dir.

Cevap C seçeneğidir.