12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 1

$f(x) = 3x+1$ fonksiyonunun $x$-ekseni, $x=0$ ve $x=1$ doğruları arasında kalan bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) $1$

B) $2$

C) $\frac{3}{2}$

D) $\frac{5}{2}$

E) $3$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün sizlerle belirli integral kullanarak bir fonksiyonun grafiği ile $x$-ekseni ve belirli doğrular arasında kalan bölgenin alanını nasıl hesaplayacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Hazırsanız başlayalım!

• Adım 1: Problemi Anlamak ve Sınırları Belirlemek

  Bu problemde, $f(x) = 3x+1$ fonksiyonu, $x$-ekseni (yani $y=0$ doğrusu), $x=0$ doğrusu ve $x=1$ doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulmamız isteniyor.

  Bu tür bir alanı bulmak için belirli integral kullanırız. İntegralin alt sınırı $x=0$, üst sınırı ise $x=1$ olacaktır.

• Adım 2: Fonksiyonun İşaretini Kontrol Etmek

  Belirli integralin doğrudan alanı vermesi için fonksiyonun verilen aralıkta ($[0, 1]$) $x$-ekseninin üzerinde (yani pozitif değerler alması) olması gerekir. Eğer fonksiyon bu aralıkta $x$-ekseninin altında kalıyorsa, integral negatif bir değer verir ve alanın mutlak değeri alınır.

  Fonksiyonumuz $f(x) = 3x+1$'dir.

  • $x=0$ için $f(0) = 3(0)+1 = 1$.
  • $x=1$ için $f(1) = 3(1)+1 = 4$.

  Görüldüğü gibi, $x \in [0, 1]$ aralığında $f(x)$ her zaman pozitif değerler almaktadır ($1$ ile $4$ arasında). Dolayısıyla, fonksiyon bu aralıkta $x$-ekseninin üzerindedir ve integral doğrudan alanı verecektir.

• Adım 3: Belirli İntegrali Kurmak

  İstenen alan $A$, aşağıdaki belirli integral ile hesaplanır:

  $A = \int_{0}^{1} (3x+1) dx$

• Adım 4: İntegrali Hesaplamak

  Şimdi integrali adım adım hesaplayalım. İntegral alma kurallarını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ ve $\int k dx = kx + C$.

  • $\int (3x+1) dx = \int 3x dx + \int 1 dx$
  • $= 3 \int x^1 dx + \int 1 dx$
  • $= 3 \frac{x^{1+1}}{1+1} + 1x$
  • $= \frac{3x^2}{2} + x$ (Belirli integralde $C$ sabiti ihmal edilir.)

• Adım 5: Sınırları Uygulamak ve Alanı Bulmak

  Hesapladığımız belirsiz integrale üst ve alt sınırları uygulayarak alanı bulalım. Bu, Newton-Leibniz formülü olarak da bilinen İntegral Hesabın Temel Teoremi'dir: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, burada $F(x)$ fonksiyonun ters türevidir.

  $A = \left[ \frac{3x^2}{2} + x \right]_{0}^{1}$

  • Önce üst sınırı ($x=1$) yerine koyarız:
  • $\left( \frac{3(1)^2}{2} + 1 \right) = \left( \frac{3}{2} + 1 \right) = \left( \frac{3}{2} + \frac{2}{2} \right) = \frac{5}{2}$
  • Sonra alt sınırı ($x=0$) yerine koyarız:
  • $\left( \frac{3(0)^2}{2} + 0 \right) = (0 + 0) = 0$
  • Bu iki değeri birbirinden çıkarırız:
  • $A = \frac{5}{2} - 0 = \frac{5}{2}$

Buna göre, belirtilen bölgenin alanı $\frac{5}{2}$ birimkaredir.

Cevap D seçeneğidir.