$\int (3x^2 - 4x + 5) dx$ belirsiz integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $x^3 - 2x^2 + 5x$
B) $x^3 - 2x^2 + 5x + C$
C) $6x - 4 + C$
D) $x^3 - 4x^2 + 5x + C$
E) $3x^3 - 4x^2 + 5x + C$
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir polinom fonksiyonunun belirsiz integralini almamız isteniyor. Belirsiz integral, bir fonksiyonun türevi verilen bir başka fonksiyonu bulma işlemidir. Bu işlemi yaparken temel integral alma kurallarını adım adım uygulayacağız.
- Öncelikle, integralini alacağımız ifade $\int (3x^2 - 4x + 5) dx$ şeklindedir. İntegral alma işlemini her bir terim için ayrı ayrı uygulayabiliriz. Yani, $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$ kuralını kullanacağız.
- İlk terimimiz $3x^2$'dir. $x^n$'nin integrali $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ kuralını ve bir sabitin fonksiyonla çarpımının integralinin sabit çarpı fonksiyonun integrali olduğunu ($\int c \cdot f(x) dx = c \cdot \int f(x) dx$) hatırlayalım. Bu durumda, $3x^2$ teriminin integrali: $3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
- İkinci terimimiz $-4x$'tir. Aynı kuralları uygulayarak integralini alalım: $-4 \int x^1 dx = -4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2$.
- Üçüncü terimimiz $5$'tir. Bir sabitin integrali $kx$ şeklindedir ($\int k dx = kx$). Bu durumda, $5$ teriminin integrali: $5x$.
- Tüm bu integral sonuçlarını bir araya getirdiğimizde, belirsiz integralin sonucunu elde ederiz. Unutmayalım ki belirsiz integralin sonunda her zaman bir integral sabiti $C$ eklememiz gerekir, çünkü türevi $0$ olan herhangi bir sabit sayı olabilir.
- Böylece, $\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$ sonucuna ulaşırız.
- Şimdi seçenekleri kontrol edelim: A seçeneği $x^3 - 2x^2 + 5x$ integral sabiti $C$ eksik olduğu için yanlıştır. B seçeneği $x^3 - 2x^2 + 5x + C$ bulduğumuz sonuçla tamamen aynıdır. C seçeneği $6x - 4 + C$ orijinal fonksiyonun türevidir, integrali değil. D seçeneği $x^3 - 4x^2 + 5x + C$ terimindeki $-4x^2$ yanlıştır, doğru olan $-2x^2$ olmalıydı. E seçeneği $3x^3 - 4x^2 + 5x + C$ terimlerindeki $3x^3$ ve $-4x^2$ yanlıştır.
Görüldüğü gibi, doğru seçenek B'dir.
Cevap B seçeneğidir.
