$\int (2x+1)^3 dx$ belirsiz integralinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\frac{1}{4}(2x+1)^4+C$
B) $\frac{1}{2}(2x+1)^4+C$
C) $\frac{1}{8}(2x+1)^4+C$
D) $(2x+1)^4+C$
E) $\frac{1}{8}(2x+1)^3+C$
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir belirsiz integralin çözümünü adım adım inceleyeceğiz. Karşımızda, bir fonksiyonun kuvveti şeklinde olan bir ifade var: $\int (2x+1)^3 dx$. Bu tür integralleri çözmek için genellikle değişken değiştirme (u-substitüsyonu) yöntemi kullanılır.
- Adım 1: Değişken Tanımlama
- İntegrali daha basit bir hale getirmek için, parantez içindeki ifadeye yeni bir değişken atayalım. Genellikle $u$ harfi kullanılır.
- $u = 2x+1$ olsun.
- Adım 2: Diferansiyel Hesaplama
- Şimdi, $u$ değişkeninin $x$'e göre türevini alarak $du$ ile $dx$ arasındaki ilişkiyi bulalım.
- $u = 2x+1$ ifadesinin $x$'e göre türevi: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x+1) = 2$.
- Bu ifadeyi $du$ ve $dx$ cinsinden yazarsak: $du = 2 dx$.
- İntegraldeki $dx$ yerine ne yazacağımızı bulmak için bu denklemi $dx$ için çözelim: $dx = \frac{1}{2} du$.
- Adım 3: İntegrali Yeni Değişken Cinsinden Yazma
- Şimdi orijinal integraldeki $(2x+1)$ yerine $u$ ve $dx$ yerine $\frac{1}{2} du$ yazalım.
- $\int (2x+1)^3 dx = \int u^3 \left(\frac{1}{2} du\right)$.
- Sabit çarpanı integral dışına alabiliriz: $\frac{1}{2} \int u^3 du$.
- Adım 4: İntegral Alma
- Şimdi temel integral alma kurallarından kuvvet kuralını uygulayalım. Kuvvet kuralı: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$).
- Bizim integralimizde $n=3$.
- $\frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \left(\frac{u^{3+1}}{3+1}\right) + C$.
- Bu ifadeyi sadeleştirelim: $\frac{1}{2} \left(\frac{u^4}{4}\right) + C = \frac{1}{8} u^4 + C$.
- Adım 5: Eski Değişkene Geri Dönme
- Son olarak, $u$ yerine tekrar $2x+1$ yazarak sonucu $x$ cinsinden ifade edelim.
- $\frac{1}{8} (2x+1)^4 + C$.
Bu sonuç, verilen seçeneklerden C seçeneği ile aynıdır.
Cevap C seçeneğidir.
