Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için türev kavramını kullanırız. Bir fonksiyonun azalan olduğu aralıklar, o fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklardır. Şimdi adım adım çözümümüze geçelim:
1. Adım: Fonksiyonun Türevini Bulma
Verilen fonksiyon $f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 5x + 7$.
Bir fonksiyonun türevini alırken, her terimin kuvvetini başa çarpan olarak getirip kuvveti bir azaltırız. Sabit terimin türevi ise sıfırdır.
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 5x + 7 \right)$
$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} - 2 \cdot 2x^{2-1} - 5 \cdot 1x^{1-1} + 0$
$f'(x) = x^2 - 4x - 5$
2. Adım: Türevin Sıfır Olduğu Noktaları (Kritik Noktaları) Bulma
Fonksiyonun azalan veya artan olduğu aralıkları belirlemek için türevin işaretini incelememiz gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar genellikle türevin sıfır olduğu noktalardır.
$f'(x) = 0$ denklemini çözelim:
$x^2 - 4x - 5 = 0$
Bu bir ikinci dereceden denklemdir. Çarpanlarına ayırarak köklerini bulabiliriz. Çarpımları $-5$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-5$ ve $1$'dir.
$(x - 5)(x + 1) = 0$
Buradan kökler (kritik noktalar) $x = 5$ ve $x = -1$ olarak bulunur.
3. Adım: Türevin İşaretini İnceleme
Bulduğumuz kritik noktalar ($x = -1$ ve $x = 5$) sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, -1)$, $(-1, 5)$ ve $(5, \infty)$. Bu aralıklarda $f'(x)$'in işaretini inceleyerek fonksiyonun artan mı yoksa azalan mı olduğunu belirleriz.
Aralık 1: $(-\infty, -1)$
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x = -2$.
$f'(-2) = (-2)^2 - 4(-2) - 5 = 4 + 8 - 5 = 7$
$f'(-2) > 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.
Aralık 2: $(-1, 5)$
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x = 0$.
$f'(0) = (0)^2 - 4(0) - 5 = -5$
$f'(0) < 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta azalandır.
Aralık 3: $(5, \infty)$
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x = 6$.
$f'(6) = (6)^2 - 4(6) - 5 = 36 - 24 - 5 = 7$
$f'(6) > 0$ olduğu için, fonksiyon bu aralıkta artandır.
4. Adım: Azalan Olduğu Aralığı Belirleme
Fonksiyonun azalan olduğu aralık, türevinin negatif olduğu aralıktır. Yaptığımız incelemeye göre, $f'(x) < 0$ olduğu aralık $(-1, 5)$'tir.
Bu nedenle, fonksiyonun azalan olduğu en geniş aralık $(-1, 5)$'tir.
Cevap C seçeneğidir.
