12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 2

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ fonksiyonunun $[-1, 4]$ aralığındaki mutlak minimum değeri kaçtır?

A) $-4$

B) $-3$

C) $1$

D) $17$

E) $20$

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak minimum değerini bulmak için aşağıdaki adımları izleriz:

• Fonksiyonun türevini alırız ve kritik noktalarını buluruz. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır.
• Bulduğumuz kritik noktalardan, verilen aralıkta olanları belirleriz.
• Fonksiyonun değerini, aralığın uç noktalarında ve aralıkta bulunan kritik noktalarda hesaplarız.
• Hesapladığımız tüm bu değerler arasından en küçüğünü seçeriz. Bu değer, fonksiyonun verilen aralıktaki mutlak minimum değeridir.

Şimdi bu adımları $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ fonksiyonu ve $[-1, 4]$ aralığı için uygulayalım:

• Adım 1: Fonksiyonun türevini alalım ve kritik noktalarını bulalım.

  Fonksiyonumuz $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$.

  Türevini alırsak:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) = 3x^2 - 6x$

  Kritik noktaları bulmak için türevi sıfıra eşitleriz:

  $3x^2 - 6x = 0$

  $3x(x - 2) = 0$

  Buradan $3x = 0$ veya $x - 2 = 0$ elde ederiz.

  Dolayısıyla kritik noktalarımız $x = 0$ ve $x = 2$'dir.

• Adım 2: Kritik noktaların verilen aralıkta olup olmadığını kontrol edelim.

  Verilen aralık $[-1, 4]$'tür.

  $x = 0$ noktası $[-1, 4]$ aralığının içindedir.

  $x = 2$ noktası da $[-1, 4]$ aralığının içindedir.

• Adım 3: Fonksiyonun değerini aralığın uç noktalarında ve kritik noktalarda hesaplayalım.

  Aralığın uç noktaları $x = -1$ ve $x = 4$'tür.

  Kritik noktalar $x = 0$ ve $x = 2$'dir.

  • $x = -1$ için:

  $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 1 = -1 - 3(1) + 1 = -1 - 3 + 1 = -3$

  • $x = 0$ için:

  $f(0) = (0)^3 - 3(0)^2 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

  • $x = 2$ için:

  $f(2) = (2)^3 - 3(2)^2 + 1 = 8 - 3(4) + 1 = 8 - 12 + 1 = -4 + 1 = -3$

  • $x = 4$ için:

  $f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 + 1 = 64 - 3(16) + 1 = 64 - 48 + 1 = 16 + 1 = 17$

• Adım 4: Hesapladığımız değerler arasından en küçüğünü seçelim.

  Hesapladığımız değerler şunlardır: $-3, 1, -3, 17$.

  Bu değerler arasındaki en küçük değer $-3$'tür.

Bu nedenle, $f(x) = x^3 - 3x^2 + 1$ fonksiyonunun $[-1, 4]$ aralığındaki mutlak minimum değeri $-3$'tür.

Cevap B seçeneğidir.