Bu soruyu çözmek için belirli integralin temel özelliklerini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
Adım 1: $\int_1^5 f(x) \, dx$ değerini hesaplayalım.
Belirli integralin bir özelliğine göre, $\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx$ eşitliğini kullanabiliriz. Bu durumda $a=1$, $b=3$ ve $c=5$ olarak alabiliriz.
Verilen değerleri yerine yazarsak:
$\int_1^5 f(x) \, dx = \int_1^3 f(x) \, dx + \int_3^5 f(x) \, dx$
$\int_1^5 f(x) \, dx = 7 + (-2)$
$\int_1^5 f(x) \, dx = 5$
Adım 2: $\int_5^1 2f(x) \, dx$ değerini hesaplayalım.
Bu ifadeyi hesaplamak için iki temel integral özelliğini kullanacağız:
Öncelikle, bir sabitin integral dışına alınabilmesi özelliğini kullanalım: $\int_a^b c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int_a^b f(x) \, dx$.
Buna göre:
$\int_5^1 2f(x) \, dx = 2 \cdot \int_5^1 f(x) \, dx$
Şimdi de integralin sınırlarını ters çevirme özelliğini kullanalım: $\int_a^b f(x) \, dx = - \int_b^a f(x) \, dx$.
Bu durumda:
$\int_5^1 f(x) \, dx = - \int_1^5 f(x) \, dx$
Adım 1'de $\int_1^5 f(x) \, dx = 5$ bulmuştuk. Bu değeri yerine yazarsak:
$\int_5^1 f(x) \, dx = - (5) = -5$
Şimdi bu değeri $2 \cdot \int_5^1 f(x) \, dx$ ifadesinde yerine koyalım:
$\int_5^1 2f(x) \, dx = 2 \cdot (-5) = -10$
Adım 3: İstenen ifadenin toplam değerini bulalım.
Soruda bizden $\int_1^5 f(x) \, dx + \int_5^1 2f(x) \, dx$ ifadesinin değeri isteniyordu.
Adım 1'de bulduğumuz $\int_1^5 f(x) \, dx = 5$ değerini ve Adım 2'de bulduğumuz $\int_5^1 2f(x) \, dx = -10$ değerini toplayalım:
$5 + (-10) = -5$
Bu adımlarla hesaplandığında, ifadenin değeri $-5$ bulunur.
Cevap D seçeneğidir.
