Merkezi $M=(3, -4)$ ve yarıçapı $r=5$ birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 5$
B) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 5$
C) $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$
D) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25$
E) $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, merkezi ve yarıçapı verilen bir çemberin denklemini bulmamız isteniyor. Çember denklemleri konusu, analitik geometrinin temel taşlarından biridir. Gelin, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim.
- 1. Çember Denkleminin Genel Formunu Hatırlayalım:
- Merkezi $M=(h, k)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin denklemi genel olarak şu şekilde ifade edilir:
- $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
- Bu formül, çember üzerindeki herhangi bir $(x, y)$ noktasının merkeze olan uzaklığının her zaman $r$ olduğunu ifade eder.
- 2. Verilen Bilgileri Yerine Koyalım:
- Soruda bize çemberin merkezi $M=(3, -4)$ ve yarıçapı $r=5$ birim olarak verilmiş.
- Bu durumda, $h=3$ ve $k=-4$ olur. Yarıçapımız ise $r=5$'tir.
- Şimdi bu değerleri genel çember denkleminde yerine yazalım:
- $(x-3)^2 + (y-(-4))^2 = 5^2$
- 3. Denklemi Sadeleştirelim:
- Denklemdeki işlemleri yapalım:
- $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$
- İşte bu, merkezi $(3, -4)$ ve yarıçapı $5$ birim olan çemberin denklemidir.
- 4. Seçeneklerle Karşılaştıralım:
- Bulduğumuz denklemi seçeneklerle karşılaştırdığımızda:
- A) $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 5$ (Yarıçapın karesi yanlış)
- B) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 5$ (Merkez ve yarıçapın karesi yanlış)
- C) $(x-3)^2 + (y+4)^2 = 25$ (Bizim bulduğumuz denklemle tamamen aynı!)
- D) $(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25$ (Merkezin işaretleri yanlış)
- E) $(x-3)^2 + (y-4)^2 = 25$ (Merkezin $y$ koordinatının işareti yanlış)
Gördüğümüz gibi, doğru denklem C seçeneğinde verilmiştir. Bu tür sorularda formülü doğru hatırlamak ve işaretlere dikkat etmek çok önemlidir.
Cevap C seçeneğidir.
