12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 2

Merkezi $M=(-2, 5)$ olan ve $A=(1, 1)$ noktasından geçen çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 25$

B) $(x-2)^2 + (y+5)^2 = 25$

C) $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 5$

D) $(x-2)^2 + (y+5)^2 = \sqrt{25}$

E) $(x+2)^2 + (y-5)^2 = 30$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, merkezi ve üzerinden geçtiği bir noktası bilinen bir çemberin denklemini bulmamız isteniyor. Çember denklemi konusundaki bilgilerinizi tazeleyerek bu soruyu adım adım çözelim.

• 1. Çember Denkleminin Genel Formunu Hatırlayalım:

  Merkezi $M=(h, k)$ olan ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin denklemi şu şekildedir:

  $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$

• 2. Verilen Bilgileri Yerine Yazalım:

  Soruda bize çemberin merkezi $M=(-2, 5)$ olarak verilmiş. Bu durumda $h = -2$ ve $k = 5$ olur. Bu değerleri genel denklemde yerine yazarsak:

  $(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = r^2$

  Yani,

  $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$

  Şimdi tek yapmamız gereken $r^2$ değerini bulmak.

• 3. Yarıçapı ($r$) veya Yarıçapın Karesini ($r^2$) Bulalım:

  Çember, $A=(1, 1)$ noktasından geçmektedir. Çemberin yarıçapı, merkez $M$ ile çember üzerindeki herhangi bir nokta $A$ arasındaki uzaklıktır. İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak $r$ değerini bulabiliriz:

  $r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

  Burada $(x_1, y_1) = M = (-2, 5)$ ve $(x_2, y_2) = A = (1, 1)$ alabiliriz. Bizim denklemde $r^2$ gerektiği için, doğrudan $r^2$ değerini hesaplamak daha pratik olacaktır:

  $r^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$

  $r^2 = (1 - (-2))^2 + (1 - 5)^2$

  $r^2 = (1 + 2)^2 + (-4)^2$

  $r^2 = (3)^2 + (-4)^2$

  $r^2 = 9 + 16$

  $r^2 = 25$

• 4. Çember Denklemini Tamamlayalım:

  Bulduğumuz $r^2 = 25$ değerini adım 2'de elde ettiğimiz kısmi denkleme yerleştirelim:

  $(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 25$

• 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Elde ettiğimiz denklemi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneğinin bizim bulduğumuz denklemle tamamen aynı olduğunu görüyoruz.

Cevap A seçeneğidir.