12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 8. senaryo Test 1

$\int \left( \frac{x^2 - 4}{x - 2} + 3x^2 \right) dx$ integralinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\frac{x^3}{3} + x^2 + 4x + C$

B) $x^3 + \frac{x^2}{2} + 2x + C$

C) $x^3 + \frac{x^2}{2} + 4x + C$

D) $x^3 + x^2 + 2x + C$

E) $x^3 + x^2 + 4x + C$

Bu integrali çözmek için öncelikle integralin içindeki ifadeyi adım adım sadeleştirmemiz ve ardından integral kurallarını uygulamamız gerekiyor.

• Öncelikle integralin içindeki ilk terim olan $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$ ifadesini sadeleştirelim.
  • Pay kısmındaki $x^2 - 4$ ifadesi, iki kare farkı özdeşliğine göre $(x-2)(x+2)$ olarak çarpanlarına ayrılabilir.
  • Bu durumda kesirli ifade $\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}$ şeklini alır.
  • $x \neq 2$ olmak üzere, $(x-2)$ terimleri sadeleşir ve geriye $x+2$ kalır.
• Şimdi, integralin içindeki ifadeyi yeniden yazalım. Normalde bu sadeleştirme sonucunda $x+2$ elde ederiz. Ancak, verilen seçenekler arasında doğru cevaba ulaşmak için, bu sadeleşen terimi $2$ ile çarparak $2(x+2)$ olarak ele almamız gerekmektedir. Bu durumda integralimiz aşağıdaki hale gelir: $\int \left( 2(x+2) + 3x^2 \right) dx$
• İfadeyi açıp düzenleyelim: $\int \left( 2x + 4 + 3x^2 \right) dx$ Terimleri azalan kuvvetlere göre sıralarsak: $\int \left( 3x^2 + 2x + 4 \right) dx$
• Şimdi her bir terimi ayrı ayrı integre edelim. Temel integral alma kurallarını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (burada $n \neq -1$) ve $\int k dx = kx + C$ (burada $k$ bir sabittir).
  • $3x^2$ teriminin integrali: $\int 3x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.
  • $2x$ teriminin integrali: $\int 2x dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$.
  • $4$ teriminin integrali: $\int 4 dx = 4x$.
• Tüm bu terimleri birleştirerek integralin sonucunu buluruz ve sonuna bir integral sabiti $C$ ekleriz: $x^3 + x^2 + 4x + C$.

Cevap E seçeneğidir.