12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 8. senaryo Test 3

$f'(x) = 2x - 3$ ve $f(1) = 4$ olduğuna göre, $f(x)$ fonksiyonu aşağıdakilerden hangisidir?

A) $x^2 - 3x + 2$

B) $x^2 - 3x + 6$

C) $2x^2 - 3x + 5$

D) $x^2 - 3x + 4$

E) $x^2 - 3x + 1$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir fonksiyonun türevi ve bir noktadaki değeri verilmiş. Bizden fonksiyonun kendisini bulmamız isteniyor. Adım adım nasıl çözeceğimizi görelim:

• 1. Adım: Türevden Fonksiyona Geçiş (İntegrasyon)

  Bize $f'(x) = 2x - 3$ verilmiş. Bir fonksiyonun türevi verildiğinde, fonksiyonun kendisini bulmak için türevin tersi olan integral alma işlemini kullanırız. Yani, $f(x)$'i bulmak için $f'(x)$'in integralini almalıyız:

  $f(x) = \int f'(x) dx = \int (2x - 3) dx$

  İntegral kurallarını uygulayalım:

  • $\int ax^n dx = a \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
  • $\int a dx = ax + C$

  Bu kuralları kullanarak integral alırsak:

  $f(x) = 2 \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3x + C$

  $f(x) = 2 \frac{x^2}{2} - 3x + C$

  $f(x) = x^2 - 3x + C$

  Buradaki $C$ bir integral sabitidir. Bu sabitin değerini bulmak için bize verilen ek bilgiyi kullanacağız.

• 2. Adım: İntegral Sabitini ($C$) Bulma

  Soruda bize $f(1) = 4$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu, $x=1$ olduğunda fonksiyonun değerinin $4$ olduğu anlamına gelir. Bulduğumuz $f(x)$ ifadesinde $x$ yerine $1$ yazıp sonucu $4$'e eşitleyelim:

  $f(1) = (1)^2 - 3(1) + C = 4$

  $1 - 3 + C = 4$

  $-2 + C = 4$

  $C = 4 + 2$

  $C = 6$

  Böylece integral sabitinin değerini $6$ olarak bulmuş olduk.

• 3. Adım: Fonksiyonu Tamamen Belirleme

  Şimdi bulduğumuz $C$ değerini $f(x) = x^2 - 3x + C$ ifadesinde yerine yazarak fonksiyonun tam halini bulalım:

  $f(x) = x^2 - 3x + 6$

• 4. Adım: Seçeneklerle Karşılaştırma

  Bulduğumuz $f(x)$ fonksiyonunu seçeneklerle karşılaştıralım:

  • A) $x^2 - 3x + 2$
  • B) $x^2 - 3x + 6$
  • C) $2x^2 - 3x + 5$
  • D) $x^2 - 3x + 4$
  • E) $x^2 - 3x + 1$

  Gördüğümüz gibi, bulduğumuz fonksiyon B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.