Bu soruyu çözmek için belirli integralin bazı temel özelliklerini kullanacağız. Adım adım ilerleyelim:
- Verilen Bilgiyi Anlayalım: Bize $\int_2^4 f(x) dx = 6$ olduğu bilgisi verilmiş. Bu, $f(x)$ fonksiyonunun $x=2$'den $x=4$'e kadar olan belirli integralinin değerinin $6$ olduğunu ifade eder.
- Hesaplanması Gereken İfadeyi İnceleyelim: Bizden $\int_4^2 (2f(x) + 1) dx$ ifadesinin değeri isteniyor. Dikkat ederseniz, bu integralin sınırları verilen integralin sınırlarının tersidir (yani $2$'den $4$'e yerine $4$'ten $2$'ye).
- İntegral Sınırlarını Ters Çevirme Özelliğini Kullanalım: Belirli integralin önemli bir özelliği şudur: İntegral sınırları yer değiştirdiğinde integralin işareti değişir. Yani, $\int_a^b g(x) dx = - \int_b^a g(x) dx$ kuralını uygulayabiliriz.
Bu kurala göre, $\int_4^2 (2f(x) + 1) dx = - \int_2^4 (2f(x) + 1) dx$ olur.
- İntegralin Doğrusallık Özelliğini Uygulayalım: Bir integralin içinde toplama veya çıkarma işlemi varsa, integrali ayrı ayrı terimlere dağıtabiliriz. Ayrıca, sabit bir çarpan integral dışına alınabilir. Yani, $\int_a^b (k \cdot g(x) + h(x)) dx = k \cdot \int_a^b g(x) dx + \int_a^b h(x) dx$ kuralını kullanacağız.
Şimdi $- \int_2^4 (2f(x) + 1) dx$ ifadesini açalım:
$ - \left( \int_2^4 2f(x) dx + \int_2^4 1 dx \right) $
$ - \left( 2 \int_2^4 f(x) dx + \int_2^4 1 dx \right) $
- İfadeleri Tek Tek Hesaplayalım:
İlk terim için: $2 \int_2^4 f(x) dx$. Bize $\int_2^4 f(x) dx = 6$ verildiği için, bu terim $2 \cdot 6 = 12$ olur.
İkinci terim için: $\int_2^4 1 dx$. Sabit bir fonksiyonun integrali, sabit değer ile üst ve alt sınır farkının çarpımıdır. Yani, $\int_a^b c dx = c \cdot (b - a)$ formülünü kullanırız.
Burada $c=1$, $b=4$ ve $a=2$ olduğundan, $\int_2^4 1 dx = 1 \cdot (4 - 2) = 1 \cdot 2 = 2$ olur.
- Bulduğumuz Değerleri Yerine Koyalım:
İfademiz $ - \left( 2 \int_2^4 f(x) dx + \int_2^4 1 dx \right) $ idi.
Yerine koyduğumuzda: $ - (12 + 2) $
$ - (14) $
$ -14 $
Buna göre, $\int_4^2 (2f(x) + 1) dx$ değeri $-14$'tür.
Cevap A seçeneğidir.
