Merkezi $M(2, -3)$ ve yarıçapı $r = 4$ birim olan çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$
B) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4$
C) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$
D) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 16$
E) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir çemberin denklemini bulmak, analitik geometrinin temel konularından biridir. Bu soruyu adım adım çözerek konuyu daha iyi anlayalım.
- 1. Çember Denkleminin Genel Formunu Hatırlayalım:
Merkezi $M(h, k)$ olan ve yarıçapı $r$ birim olan bir çemberin denklemi genel olarak şu şekilde ifade edilir:
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
Burada:
- $h$, çemberin merkezinin x-koordinatıdır.
- $k$, çemberin merkezinin y-koordinatıdır.
- $r$, çemberin yarıçapıdır.
- 2. Soruda Verilen Bilgileri Belirleyelim:
Soruda bize çemberin merkezi ve yarıçapı verilmiş:
- Merkez $M(2, -3)$ olarak verilmiş. Yani $h = 2$ ve $k = -3$.
- Yarıçap $r = 4$ birim olarak verilmiş.
- 3. Bilgileri Genel Denkleme Yerleştirelim:
Şimdi bulduğumuz $h$, $k$ ve $r$ değerlerini genel çember denklemine yerleştirelim:
$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$
$(x-2)^2 + (y-(-3))^2 = 4^2$
- 4. Denklemi Sadeleştirelim:
Denklemdeki parantez içindeki işaretlere ve $r^2$ değerine dikkat edelim:
- $y-(-3)$ ifadesi, iki eksi işaretinin yan yana gelmesiyle artıya dönüşür, yani $y+3$ olur.
- $4^2$ ifadesi, $4 \times 4 = 16$ demektir.
Bu sadeleştirmeleri yaptığımızda çemberin denklemi şu hale gelir:
$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$
- 5. Seçeneklerle Karşılaştıralım:
Bulduğumuz denklemi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, bu denklemin C seçeneğinde yer aldığını görürüz.
- A) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4$ (Yarıçapın karesi yanlış)
- B) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 4$ (Merkez ve yarıçapın karesi yanlış)
- C) $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 16$ (Doğru!)
- D) $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 16$ (Merkez yanlış)
- E) $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 16$ (Merkezin y-koordinatı yanlış)
Cevap C seçeneğidir.
