Uç noktaları $A(-1, 2)$ ve $B(5, 6)$ olan doğru parçası bir çemberin çapı olduğuna göre, bu çemberin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 13$
B) $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 26$
C) $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$
D) $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 52$
E) $(x-1)^2 + (y-3)^2 = 13$
Bir çemberin denklemini bulmak için iki temel bilgiye ihtiyacımız vardır: çemberin merkezi ve yarıçapı. Soru bize doğru parçasının uç noktalarını ve bu doğru parçasının çemberin çapı olduğunu söylüyor. Bu bilgilerle çemberin merkezini ve yarıçapını kolayca bulabiliriz.
- 1. Çemberin Merkezini Bulma:
- Çap, çemberin merkezinden geçen bir doğru parçasıdır. Dolayısıyla, çapın uç noktaları $A(-1, 2)$ ve $B(5, 6)$ ise, çemberin merkezi bu çapın orta noktasıdır.
- İki nokta arasındaki orta nokta formülü $M\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$ şeklindedir.
- $A(-1, 2)$ ve $B(5, 6)$ noktalarını kullanarak merkezi $(h, k)$ bulalım:
- $h = \frac{-1+5}{2} = \frac{4}{2} = 2$
- $k = \frac{2+6}{2} = \frac{8}{2} = 4$
- Buna göre, çemberin merkezi $C(2, 4)$ noktasıdır.
- 2. Çemberin Yarıçapını Bulma:
- Yarıçap $r$, çemberin merkezinden çember üzerindeki herhangi bir noktaya olan uzaklıktır. Bu durumda, merkez $C(2, 4)$ noktasından çapın uç noktalarından biri olan $A(-1, 2)$ veya $B(5, 6)$ noktasına olan uzaklık yarıçaptır.
- İki nokta arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ şeklindedir.
- Merkez $C(2, 4)$ ve $A(-1, 2)$ noktalarını kullanarak yarıçapı $r$ bulalım:
- $r = \sqrt{(-1-2)^2 + (2-4)^2}$
- $r = \sqrt{(-3)^2 + (-2)^2}$
- $r = \sqrt{9 + 4}$
- $r = \sqrt{13}$
- Yarıçapın karesi $r^2 = (\sqrt{13})^2 = 13$ olacaktır.
- 3. Çemberin Denklemini Yazma:
- Merkezi $(h, k)$ ve yarıçapı $r$ olan bir çemberin standart denklemi $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ şeklindedir.
- Bulduğumuz değerleri yerine yazalım: merkez $(h, k) = (2, 4)$ ve $r^2 = 13$.
- Çemberin denklemi: $(x-2)^2 + (y-4)^2 = 13$
Bu denklem seçenekler arasında A seçeneğinde bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
