Bir fırın, içindeki sıcaklığı $2000 \text{ K}$ iken maksimum ışıma şiddetini $\lambda_1$ dalga boyunda yaymaktadır. Fırının sıcaklığı $4000 \text{ K}$'ye çıkarıldığında, maksimum ışıma şiddetini yaydığı dalga boyu $\lambda_2$ olduğuna göre, $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ oranı kaçtır?
(Wien sabiti $b = 2.898 \times 10^{-3} \text{ m} \cdot \text{K}$ olarak alınabilir.)
A) $0.5$
B) $1$
C) $2$
D) $4$
E) $0.25$
Bu soruyu çözmek için, bir cismin sıcaklığı ile yaydığı maksimum ışıma şiddetinin dalga boyu arasındaki ilişkiyi açıklayan Wien Kaydırma Yasası'nı kullanacağız. Bu yasa, sıcak cisimlerin yaydığı elektromanyetik radyasyonun spektrumunu anlamak için temel bir prensiptir.
- Wien Kaydırma Yasası'nı Hatırlayalım: Bu yasa, bir kara cismin (veya bu durumda fırının) yaydığı maksimum ışıma şiddetine karşılık gelen dalga boyunun ($\lambda_{max}$), cismin mutlak sıcaklığı ($T$) ile ters orantılı olduğunu belirtir. Matematiksel olarak şu şekilde ifade edilir:
$\lambda_{max} \cdot T = b$
Burada $b$, Wien sabiti olarak bilinen bir sabittir ($b = 2.898 \times 10^{-3} \text{ m} \cdot \text{K}$).
- İlk Durumu İnceleyelim: Fırının ilk sıcaklığı $T_1 = 2000 \text{ K}$ iken, maksimum ışıma şiddetini yaydığı dalga boyu $\lambda_1$ olarak verilmiştir. Wien Yasası'nı bu duruma uygulayalım:
$\lambda_1 \cdot T_1 = b$
$\lambda_1 \cdot (2000 \text{ K}) = b \quad \text{(Denklem 1)}$
- İkinci Durumu İnceleyelim: Fırının sıcaklığı $T_2 = 4000 \text{ K}$'ye çıkarıldığında, maksimum ışıma şiddetini yaydığı dalga boyu $\lambda_2$ olarak verilmiştir. Wien Yasası'nı bu duruma da uygulayalım:
$\lambda_2 \cdot T_2 = b$
$\lambda_2 \cdot (4000 \text{ K}) = b \quad \text{(Denklem 2)}$
- Oranı Bulmak İçin Denklemleri Kullanalım: Şimdi bizden istenen $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ oranını bulmak için Denklem 1'i Denklem 2'ye bölebiliriz. Her iki denklemin sağ tarafı da $b$ sabitine eşit olduğu için, sol tarafları da birbirine eşitleyebiliriz:
$\lambda_1 \cdot (2000 \text{ K}) = \lambda_2 \cdot (4000 \text{ K})$
Şimdi $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ oranını yalnız bırakalım:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{4000 \text{ K}}{2000 \text{ K}}$
- Hesaplamayı Yapalım:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = 2$
Gördüğümüz gibi, sıcaklık iki katına çıktığında, maksimum ışıma dalga boyu yarıya inmiştir. Bu da Wien Yasası'nın ters orantı ilişkisini doğrular.
Cevap C seçeneğidir.
