Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100 den küçük sayılar nedir? Test 1

Asal çarpanları 2 ve 7 olan 100'den küçük bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı 6'dır. Bu sayı aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) 28
B) 42
C) 56
D) 70

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim. Soruyu dikkatlice okuyarak verilen bilgileri ve bizden isteneni anlayalım.

• Adım 1: Sayının Yapısını Anlayalım

  Soruda verilen ilk bilgi, sayının asal çarpanlarının sadece 2 ve 7 olduğudur. Bu ne anlama gelir? Bu, sayının $2^a \cdot 7^b$ şeklinde yazılabileceği anlamına gelir. Burada $a$ ve $b$ birer pozitif tam sayı olmalıdır, çünkü 2 ve 7 sayının asal çarpanları olduğuna göre, üsleri en az 1 olmalıdır.

• Adım 2: Pozitif Tam Sayı Bölenlerinin Sayısı Formülünü Kullanalım

  Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot \ldots \cdot p_k^{e_k}$ ise, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(e_1+1)(e_2+1)\ldots(e_k+1)$ formülüyle bulunur.

  Bizim sayımız $2^a \cdot 7^b$ olduğu için, pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı $(a+1)(b+1)$ olacaktır. Soruda bu sayının 6 olduğu belirtilmiş. Yani:

  $(a+1)(b+1) = 6$

• Adım 3: $a$ ve $b$ Değerleri İçin Olasılıkları Bulalım

  Şimdi, çarpımları 6 olan tam sayı çiftlerini bulalım:

  • $1 \cdot 6 = 6 \Rightarrow (a+1=1, b+1=6)$ veya $(a+1=6, b+1=1)$
  • $2 \cdot 3 = 6 \Rightarrow (a+1=2, b+1=3)$ veya $(a+1=3, b+1=2)$

  Bu çiftlerden $a$ ve $b$ değerlerini çıkaralım:

  • $a+1=1 \Rightarrow a=0$, $b+1=6 \Rightarrow b=5$. Yani $(a,b) = (0,5)$
  • $a+1=6 \Rightarrow a=5$, $b+1=1 \Rightarrow b=0$. Yani $(a,b) = (5,0)$
  • $a+1=2 \Rightarrow a=1$, $b+1=3 \Rightarrow b=2$. Yani $(a,b) = (1,2)$
  • $a+1=3 \Rightarrow a=2$, $b+1=2 \Rightarrow b=1$. Yani $(a,b) = (2,1)$
• Adım 4: Asal Çarpanlar Koşulunu Uygulayalım

  Soruda sayının asal çarpanlarının "2 ve 7" olduğu açıkça belirtilmiştir. Bu, hem 2'nin hem de 7'nin sayının asal çarpanları arasında mutlaka bulunması gerektiği anlamına gelir. Dolayısıyla, $a$ ve $b$ üsleri 0 olamaz (çünkü $2^0=1$ veya $7^0=1$ olursa o asal çarpan sayıya dahil olmazdı).

  Bu durumda, $(0,5)$ ve $(5,0)$ çiftleri elenir. Çünkü bu çiftlerde bir üs 0'dır. Örneğin, $2^0 \cdot 7^5 = 7^5$ sayısının asal çarpanı sadece 7 olurdu, 2 olmazdı.

  Geriye kalan olası $(a,b)$ çiftleri şunlardır:

  • $(a,b) = (1,2)$
  • $(a,b) = (2,1)$
• Adım 5: Olası Sayıları Hesaplayalım ve 100'den Küçük Olma Koşulunu Kontrol Edelim

  Şimdi bu $(a,b)$ çiftlerini kullanarak sayıları bulalım ve sayının 100'den küçük olma koşulunu kontrol edelim:

  • Durum 1: $(a,b) = (1,2)$

    Sayı $2^1 \cdot 7^2 = 2 \cdot 49 = 98$.

    Bu sayı 100'den küçük mü? Evet, $98 < 100$. Bu sayı adayımız olabilir.

  • Durum 2: $(a,b) = (2,1)$

    Sayı $2^2 \cdot 7^1 = 4 \cdot 7 = 28$.

    Bu sayı 100'den küçük mü? Evet, $28 < 100$. Bu sayı da adayımız olabilir.

  Bulduğumuz olası sayılar 28 ve 98'dir.

• Adım 6: Şıklardaki Seçenekleri Kontrol Edelim

  Şimdi şıklara bakalım ve bulduğumuz sayılardan hangisinin şıklarda olduğunu görelim:

  • A) 28
  • B) 42 (Asal çarpanları $2 \cdot 3 \cdot 7$'dir, 3 de var. Bu yüzden elenir.)
  • C) 56 (Asal çarpanları $2^3 \cdot 7^1$'dir. Bölen sayısı $(3+1)(1+1) = 4 \cdot 2 = 8$'dir, 6 değildir. Bu yüzden elenir.)
  • D) 70 (Asal çarpanları $2 \cdot 5 \cdot 7$'dir, 5 de var. Bu yüzden elenir.)

  Görüldüğü gibi, bulduğumuz 28 sayısı A seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap A seçeneğidir.